Задачи с решениями

2.1. Водитель обязан соблюдать дистанцию между автомобилями, предотвращающую столкновение. Распространенная рекомендация: дистанция / между автомобилями в метрах должна быть равна половине скорости v в км/ч: если скорость равна, например, 60 км/ч, то дистанция — 30 м и т. д. Правильна ли эта рекомендация?

Решение. Дистанция определяется двумя компонентами. Меньший из них пропорционален скорости, поскольку определяется расстоянием, которое автомобиль пройдет за время запаздывания реакции водителя. Больший компонент — это тормозной путь /. Он определяется равенством кинетической энергии автомобиля и работы силы трения скольжения F_c. При заблокированных колесах на горизонтальной дороге тгг/2 = FJ, где F. = kjng.

Как следует из этой формулы, зависимость 1(х) квадратичная. Если скорость увеличилась, например, вдвое, то при той же силе трения тормозной путь возрастает в четыре раза. Учитывая, что с ростом скорости коэффициент трения k_r уменьшается, дистанция возрастает еще больше.

Ответ. Рекомендация неверна.

2.2. Установившаяся скорость падения парашютиста в безветренную погоду равна 5 м/с. Его рост 180 см, масса 80 кг. Какова средняя сила его удара о землю при скорости бокового ветра 4 м/с?

Дано: h =180 см = 1,8 м; т = 80 кг; v_l = 5 м/с; v₂ = 4 м/с.

F -?

^м ср

Решение. Удар начинается с момента касания земли до момента падения центра инерции человека на землю, положение которого оценим соотношением /₍. = 0,5/z. Модуль средней силы удара определяется вторым законом Ньютона:

где Amv = mv — модуль импульса парашютиста до момента касания земли, At — среднее время от момента касания до падения. Полагая, что за время At скорость убывает линейно, получим.

Таким образом, где учтено равенство z? = + v.

Подставляя данные, найдем F_cf> ~ 1,8−10³ Н.

Примечание. Конечную формулу можно также получить из равенства кинетической энергии парашютиста и работы силы F_cp.

• 2.3. При массе откатной части орудия 2400 кг пушка выстреливает снарядом массой 25 кг с начальной скоростью 800 м/с. Масса пороховых газов составляет
• 3,8 кг. Определим среднюю расчетную силу торможения в противооткатном устройстве, если длину отката ограничить расстоянием 1 м.

Дано: М = 2400 кг; т_с = 25 кг; v_c = 800 м/с; т_Г = 3,8 кг; / = 1 м.

F-?

Решение. Работа противооткатного устройства должна гасить кинетическую энергию откатной части орудия:

_ ^MvL

откуда F=

Скорость откатной части орудия определяется законом сохранения импульса.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

где ^ — скорость пороховых газов, которая в первом приближении линейно возрастает от нуля у затвора до скорости снаряда v_c у дульного среза. Поэтому уравнение приобретает вид Отсюда Подставляя данные, получим F— 96 кН.

2.4. В ракете, выводящей разведывательный спутник на круговую орбиту, скорость истечения газа 2500 м/с. Во сколько раз ее стартовая масса должна быть больше конечной?

Дано: и = 2500 м/с.

mjm — ?

Решение. Искомое отношение масс определяется формулой Циолковского:

где v = 7900 м/с, поскольку спутнику нужно сообщить первую космическую скорость.

Подставляя данные, получим mjm ~ 24.

2.5. Груз лежит на подпружиненной платформе, опустившейся под его действием на 0,5 см. На сколько она опустится при падении того же груза с высоты 10 см?

Дано: / = 0,5 см; h = 10 см.

/,-?

Решение. В первом случае вес груза компенсируется упругой силой.

где т — масса груза; к — коэффициент жесткости пружины. При падении груза его потенциальная энергия тяготения преобразуется в энергию упругой деформации пружины:

Подставив первое выражение, получим уравнение.

Решив квадратное уравнение, найдем

Поскольку второй член правой части по модулю больше первого, знак «-» теряет физический смысл.

Подставив данные, получим /, = 3,7 см.

Примечание. Ход решения очередной раз показывает, что большинство задач следует решать до конца в общем виде, тогда необходимые, на первый взгляд, неизвестные (в данном случае т и к) сокращаются.