Разностные схемы для уравнений гиперболического типа

Типичное и наиболее простое уравнение гиперболического типа — это волновое уравнение.

В связи с этим уравнением обычно рассматриваются следующие задачи.

1. Задача Коши. В области D = {у> 0, — оо < * < оо} найти функцию U (x, у), удовлетворяющую уравнению (3.61), а на прямой у = 0 — начальным условиям.

• 2. Смешанная граничная задача. В области D = {у > 0, а < х </3} найти функцию и (х, у), которая в этой области удовлетворяет уравнению (3.61), а на границе /'области D приу = 0 — начальным условиям (3.62), а при х = а, х = /3 — одному из грех граничных условий:
  • а) условиям первого рода

б) условиям второго рода.

в) условиям третьего рода.

Решение задачи Коши

Выберем прямоугольную сетку, положив.

Рассмотрим трехслойный шаблон.

В соответствии с этим шаблоном определим множество ?>° внутренних узлов и множество Г/, граничных узлов. К множеству Г), отнесем узлы, лежащие на прямой у=0, а к множеству D® — узлы (х_т, у_п) е D. Вся сеточная область D_h = D’l + Г_н будет состоять из узлов (х_т, у_п) е D = D + Г. Используя взятый шаблон, можно получить разностную схему.

Эта схема, как легко доказать, аппроксимирует уравнение (3.61) с погрешностью порядка 0(h² +1²), а начальные условия с погрешностью 0(1). Порядок аппроксимации начальных условий может быть повышен.

При п = 1 по формуле (3.72) вычислим значения и²_п, т = 0, ±1,…; значения и°_т и и_т известны в силу (3.71). Затем по (3.72) при п = 2 вычисляем значения и^ъ_т через уже известные значения и_т, и²_т и т. д.