Модели стримера, плазмоида и ступенчатого лидера

Стримеры относятся к числу макроскопических наблюдаемых явлений, которые могут быть зарегистрированы в экспериментах с газовыми разрядами, включая атмосферные разряды [1−23]. Обычно наблюдаются стримеры, вызванные распространением электронов в нейтральной среде, которая подвержена ионизации. Типичные физические процессы, описываемые в моделях стримеров — это ионизация, диффузия и движение зарядов в электрическом поле.

Предполагается, что высоковольтный разряд относится к электростатическим явлениям, следовательно, генерируемые электрические поля являются потенциальными. В тоже время сам разряд является быстропротекающим процессом, что указывает на наличие вихревых полей. Рассмотрим распространение стримера в газовой среде в электрическом поле. Используем стандартную модель стримера в газовых разрядах [3−7], которую модифицируем с учетом процессов диффузии электрического поля и ионов, имеем [11−12, 22−23].

(1).

Здесь обозначено — плотность электронов, ионов и электрического поля соответственно, — коэффициенты диффузии, — параметр подвижности ионов. В качестве параметра длины в модели (1) используется длина свободного пробега электронов в азоте при нормальных условиях — (2.3 мкм). Масштаб времени составляет 3 пикосекунды, масштаб электрического поля —, характерный масштаб скорости км/с [3].

Поясним происхождение третьего уравнения (3). Выражение в скобках в случае электростатического поля тождественно обращается в ноль. Однако при наличии вихревой составляющей поля в случае длинных волн, из уравнений Максвелла и закона Ома следует уравнение диффузии векторного потенциала.

Сравнивая (2) с третьим уравнением (1), находим .

Модель (1) тестировалась на плоских и трехмерных задачах моделирования стримеров Саффмана-Тейлора в однородном электрическом поле [11−12].

Задача для системы (1) решалась численно, в прямоугольной области, с нулевыми начальными данными и с граничными условиями:

(3).

В случае решения плоской задачи полагаем в условиях (3) и исключаем граничные условия при .

Основные результаты расчетов электронной плотности по модели (1), (3) были получены при следующих параметрах задачи:

. (4).

Из полученных результатов [11−12] следует, что распределение плотности электронов в 2D и 3D моделях отличается несущественно, что объясняется специфической геометрией стримера Саффмана-Тейлора.

Линия раздела плотности в теории [24] описывается уравнением:

(5).

Как было установлено в экспериментах [24], параметр, хотя в теории стримеров этот параметр может принимать любое значение в зависимости от скорости [7, 11−12].

Рассмотрим аналитическую модель распространения стримера в заданном внешнем поле. Положим в уравнениях (1) все величины зависящими от переменных, тогда система (1) приводится к виду.

(6).

Здесь оператор. Стример Саффмана-Тейлора — это плоское линейное решение первого уравнения (6). Полагая в этом уравнении электрическое поле постоянным, ищем решение в виде.

(7).

Подставляя (7) в первое уравнение (6), находим дисперсионное соотношение.

(8).

Предполагая, что линия раздела электронной плотности определяется из уравнения, находим из первого уравнения путем логарифмирования уравнение линии раздела плотности.

(9).

Из уравнения (8) следует, что скорость стримера зависит от параметра диффузии и от скорости ионизации. Ранее аналогичные результаты были получены в работе [7], в которой модель стримера Саффмана-Тейлора [24] была использована для нахождения режимов движения с постоянной скоростью и ветвления в 2D. В работе [11] аналогичная задача была решена в трехмерном случае.

Рассмотрим стример как бегущую с постоянной скоростью волну. Положим в уравнениях (1) все величины зависящими от переменных, тогда справедлива система уравнений (6). Для решения системы уравнений (6) используем теорию пограничного слоя. Будем считать, что изменение параметров по сечению стримера значительно превосходит изменение параметров вдоль направления его распространения. Это условие заведомо не выполняется на головке стримера. В остальной же области для описания стримера имеем систему уравнений параболического типа.

(10).

Здесь операторы,. В рамках модели (10) может быть поставлена и решена задача о ветвлении стримера в трехмерном случае. Для этого предположим, что в плоскости в интервале задано распределение плотности электронов вида (7), а в плоскости задано совместное с ним распределение, имеем.

(11).

Во всей остальной области и на границах используем нулевые начальные данные. Тогда в области имеем отрыв стримера от плоскости, что соответствует ветвлению, поскольку плоскость является плоскостью симметрии.

Отметим, что волновые числа, коэффициент диффузии электронов, напряженность электрического поля и скорость стримера связаны уравнение (8). Разрешая уравнение (8), находим продольный масштаб стримера в зависимости от параметров модели в виде.

(12).

Из уравнения (12) следует, что при уменьшении скорости точка ветвления смещается к началу координат. Тот же эффект наблюдается при увеличении коэффициента диффузии или напряженности электрического поля.

Интересной особенностью данной постановки задачи является то, что рассматривается ветвление трехмерного стримера, а не плоского стримера или, что важно, не коническое раскрытие стримера. В [11−12] была рассмотрена задача о ветвлении стримера в рамках нестационарной модели (1). Размер ветвей и положение точки ветвления зависит в этом случае от времени, тогда как в модели (10), положение точки ветвления фиксировано в подвижных координатах.

Таким образом, в численных расчетах мы установили два механизма ветвления стримера, один из которых связан с разделением головки стримера на две части, а второй механизм связан с замыканием основного канала стримера на катод через систему боковых стримеров. Оба механизма ветвления наблюдаются в природе при разряде молнии [1−23].

В работе [25] обнаружен третий механизм ветвления, при котором основание плазмоида замыкается на анод через систему боковых стримеров. Этот механизм получил объяснение в [12]. Мы предполагаем, что плазмоид типа [25−26] - это разновидность стримера, возникающего в проводящей среде при электрическом разряде над водной поверхностью. Для его моделирования на основе системы уравнений (1) необходимо определить область параметров, в которой плазмоид может сформироваться. Прежде всего, это большое время формирования плазмоида, по сравнению с характерным временем модели (1) — 3 пикосекунды. Рассмотрим начальную стадию формирования плазмоида, в которой наблюдается ветвление плазмоида в катодной области с образованием многочисленных стримеров. Длительность этой стадии составляет 17−33 мс [25], следовательно, в этом случае характерное время задачи, а масштаб области моделирования составляет .

Согласно данным [26], плазмоид достигает размера в диаметре 20 см через 150 мс, после чего начинается автономная стадия. Следовательно, характерное время задачи. Сравнивая диаметр плазмоида 10−20 см с характерной длиной пробега электронов в азоте при атмосферном давлении — 2.3 мкм, находим, что масштаб области моделирования. Скорость стримера типа плазмоида относительно мала в сравнении с характерной скоростью распространения стримера км/с.

Действительно, полагая, находим, что скорость плазмоида составляет около м/с. Отметим, что в экспериментах [24−25] скорость плазмоида в момент отрыва составляла 1.5−2 м/с.

Сделаем замену переменных.

(13).

Опуская штрихи, приведем систему уравнений (1) к виду.

(14).

Следовательно, изменение масштаба области формирования стримера не меняет вида системы уравнений (1) с точностью до слагаемого, описывающего скорость ионизации. Отметим, что для данных приведенных в [22−23] вклад объемной ионизации сравнительно мал, а процесс формирования стримера обусловлен наличием нейтральной плазмы на катоде. В случае плазмоида при расширении с параметрами вклад объемной ионизации микроскопически мал, поэтому им можно пренебречь.

Из выражений (13) следует, что напряженность поля и плотность электронов в области плазмоида меньше таковой для стримера в соответственно. Так, для характерная напряженность электрического поля составит в заданном масштабе электрического поля. С другой стороны, по данным [25−26] находим типичное значение напряженности поля — 300−350 В/см.

Вольтамперная характеристика разряда над поверхностью электролита (воды) с образованием плазмоида приведена в [25−26]. Используя эти данные, сформулируем задачу для системы уравнений (14), имеем.

(15).

Здесь — внешнее поле, которое в этой задаче является нестационарным. Изменение внешнего поля во времени обусловлено разрядом конденсатора, поэтому может быть представлено в форме произведения статического поля и функции, зависящей от времени,. Без ограничения общности положим. Статическое поле определяется путем решения задачи о распределении потенциала в системе с заданной геометрией [12].

Рассмотрим механизм ветвления плазмоида путем замыкания его основания через систему стримеров на анод. Эти стримеры хорошо просматриваются на фотографиях, приведенных в работах [25−26]. Для моделирования эффекта используем систему уравнений (14) с граничными условиями (15), которые теперь включают область анода. Следовательно, предполагаем, что в области анода существует источник нейтральной плазмы с плотностью. Второй объемный источник плазмы с интенсивностью помещаем в области катода, т. е. добавляем это слагаемое в правые части первого и второго уравнений (14). Здесь — координата катода. При соответствующем подборе параметров в основании плазмоида возникает система боковых стримеров, замыкающих объемный заряд на анод [12]. В данной модели плазмоид рассматривается как долгоживущий стример. Имеется сходство шаровой молнии и плазмоида [23]. Если это сходство подтвердится, то число теоретических гипотез относительно природы шаровой молнии может резко сократиться [23].

В отличии от шаровой молнии и плазмоида, разряд молнии облако-земля характеризуется большим различием поперечного и продольного масштабов порядка см/км. Для одной ступени лидера отношение поперечного масштаба к продольному изменяется от 1/1000 до 1/100. При этом скорость распространения лидера на каждой ступени имеет порядок скорости стримера в модели (1). Это означает, что для моделирования лидера можно использовать систему уравнений (1) при соответствующем выборе параметров [3, 22].

Численное моделирование распространения волн ионизации в области с отношением размеров 1/100 позволяет выявить два типа ступенчатых лидеров в форме волн уплотнения и разрежения соответственно. данные численных экспериментов [20−22] подтверждают гипотезу [11] об универсальности минимальной модели стримера, а также ее расширения в форме (1). Известные явления природы, связанные с электрическим разрядом — стример [3−12], плазмоид [12, 25−26], шаровая молния [23] и ступенчатый лидер [15−22] могут быть описаны в рамках модели (1).