Модель Кельвина — — Фойгта

Модель Максвелла представляет собой наиболее общий механический аналог жидкости и позволяет удовлетворительно имитировать поведение линейных полимеров. С ее помощью удается наглядно описать релаксацию напряжений при заданной деформации.

Для моделирования поведения сшитых полимеров, деформация которых ограничена существованием пространственной структуры, можно воспользоваться моделью, известной под названием модели Кельвина — Фойгта (рис. 35).

Рисунок 35 — Модель Кельвина — Фойгта Эта модель обладает свойствами твердого тела. Дифференциальное уравнение модели Кельвина — Фойгта составляется, исходя из условия, что деформация упругого элемента модели равна деформации ее вязкого элемента:

Суммарное напряжение в любой момент складывается из напряжения, действующего в упругом и вязком элементах. Дифференциальное уравнение, описывающее поведение модели Кельвина — Фойгта, имеет вид:

Рассмотрим решение этого уравнения для двух вариантов.

Первый вариант:

к телу Кельвина — Фойгта мгновенно приложена постоянная сила, вызывающая напряжение. При этом условии решение уравнения (18) имеет вид:

где l в данном случае является своеобразным аналогом времени релаксации и называется временем ретардации или запаздывания; l = h/G.

Можно ввести характеристику упругих свойств, так называемую податливость I, обратную модулю упругости:

Тогда уравнение (19) запишется в виде:

Второй вариант, представляющий практический интерес — это режим мгновенной разгрузки.

Пусть тело Кельвина — Фойгта деформировано силой, вызывающей напряжения, действие которой продолжалось в течение времени много большего, чем время запаздывания. Затем эта сила мгновенно снимается. Под действием запасенной в теле упругой энергии начнется процесс восстановления. Процесс уменьшения деформации будет при этом описываться уравнением:

Уравнение (22) по форме подобно уравнению (12). Процесс, описываемый этим уравнением, называется релаксацией деформации.

По аналогии с характеристиками, которые были введены для элемента Максвелла, можно получить соответствующие вязкоупругие функции и для элемента Кельвина — Фойгта, например, релаксационная податливость:

Обобщенная модель Кельвина — Фойгта Сопоставление механических характеристик элемента Кельвина — Фойгта с механическими характеристиками реальных полимеров указывает на существование качественного сходства. Однако попытки количественного описания поведения реальных полимеров при помощи уравнения движения модели Кельвина — Фойгта наталкиваются на такие же затруднения, что и при использовании однокомпонентной модели Максвелла.

В связи с этим была предложена обобщенная модель Кельвина — Фойгта, характеризуемая спектром податливостей.

Рисунок 36 — Обобщенная модель Кельвина — Фойгта Модель Алфрея — Гарни (Бургерса — Френкеля).

• 1,4 — пружины;
• 2, 3 —демпферы

Рисунок 37 — Модель Алфрея — Гарни Недостатком модели Фойгта — Кельвина является то, что она не описывает компоненты упругой мгновенной деформации и вязкого течения. Этого можно избежать, если воспользоваться обобщенной моделью Алфрея — Гарни (рис. 37).

При нагружении такой модели деформирование происходит за счет мгновенного растяжения пружины 1 и одновременного вязкого течения в демпфере 2. В результате перемещения поршня демпфера 3 начинает развиваться высокоэластическая деформация, которая прекращается через некоторое время при достижении равновесия в пружине 4. Дальнейшее деформирование модели осуществляется за счет перемещения демпфера 2. Схема развития деформации показана на рисунке 38.

I — нагружение;

II — восстановление деформации после снятия нагрузки Рисунок 38 — Зависимость развития деформации во времени для модели Алфрея — Гарни Таким образом, если нагрузка не меняется во времени, то деформация будет равна накопленной упругой деформации пружины 1 модели Максвелла, высокоэластической деформации модели Фойгта — Кельвина (пружина 4) и нарастающей во времени деформации вязкого элемента 2 модели Максвелла. Отсюда следует, что изменение упругих деформаций происходит в момент приложения внешней силы или при изменении ее, а затем она остается постоянной.