Способы учёта энергозависимости эффективной массы горячих носителей в объёме полупроводников типа АIIIВV для различных случаев дисперсии

Аннотация

полупроводник дисперсия квадратичный горячий В работе рассмотрены способы учёта энергозависимости эффективной массы горячих носителей в объёме полупроводников типа АIIIВV для трех различных случаев дисперсии. Проанализированы классическое отклонение дисперсии от квадратичного закона, кейновское отклонение дисперсии от квадратичного закона и зависимость m (W), связанная с двухдолинным представлением полупроводников типа А^IIIВ^V.

Ключевые слова: дисперсионная характеристика, эффективная масса, квадратичный закон, кейновское отклонение дисперсии, эффект «утяжеления» электронов, энергетические зависимости, разогревные эффекты.

При исследовании механизмов нелинейности твердотельной плазмы, проявляющейся в сильных электрических полях (напряжённость которых в объёме некоторых полупроводников соизмерима с напряжённостью порогового поля эффекта Ганна), наиболее важным является вопрос об отклонении дисперсионной характеристики от квадратичного закона, которую можно учесть путем ввода зависимости эффективной массы m носителей от их средней энергии W [1, 2].

Известно [3], что на дне зоны проводимости (ЗП) эффективная масса носителей заряда положительна и является константой m = m₀ > 0, а её энергия определятся как W₀= kT₀ (где: k — постоянная Больцмана; T₀ = 300К — комнатная температура). На вершине ЗП m < 0, а при разогреве внешним полем, с ростом энергии, когда W > ( ширина зоны проводимости), величина m будет в точке переходить через ± .

При одномерном кристаллографическом рассмотрении вдоль одной из осей, можно выделить три известных причины появлении этой зависимости [1, 3]:

1. Классическое отклонение дисперсии от квадратичного закона является определяющей причиной нелинейных свойств объёма полупроводника. Этот эффект записывается соотношением [2]:

(1).

где m₀ — эффективная масса при энергии W=W₀; - полная ширина разрешённых значений W в ЗП при движении вдоль одной из осей. (Для направления <100> в GaAs определено = 1,93 эВ).

2. Учёт Кейновского рассмотрения отклонения дисперсии от квадратичного закона, проявляющееся за счёт учёта влияния электронов основной зоны на поведение электронов в ЗП, что приводит к дополнительной энергии, квантование которой приводит, в свою очередь, к квантованию энергетических уровней и образованию дополнительных подзон [4]. Это проявляется в виде степенной зависимости:

. (2).

3. Зависимость m (W), связанная с двухдолинным представлением полупроводников типа АIIIВV (АIIВVI и др.). Само по себе это представление довольно громоздко и может быть упрощено за счёт рассмотрения эффекта «утяжеления» электронов при переходе их в боковые долины в процессе разогрева. Это можно описать в виде соотношения [5]:

m = m_н + (3).

где m_н = 0,072 m_с и m_в = 1,2 m_с — массы электронов в верхней и нижней долинах соответственно; m_с — масса свободного электрона; - энергия уровня дна боковой долины (для GaAs: = 0,36эВ); - интервал средних энергий электронов, внутри которого, при, осуществляется переход в боковую долину. При рассеянии на оптических фононах:

= h₀щ_оф0,035эВ.

Подставляя вместо m₀ в выражении (1) величину m из (2), получим достаточно общий закон изменения эффективной массы электрона в зоне проводимости из-за отклонения дисперсии от квадратичной зависимости:

. (4).

Если в соотношение (3) в качестве m_н подставить величину m определяемую из (4), а в качестве m_в соответствующую m, также определяемую из (4) для верхней долины (т.е. заменив в (4) m₀ = m_в — эффективная масса дна боковой долины, W₀ = W_б, — расстояние от дна боковой долины до вершины основной зоны, — ширина зоны проводимости боковой долины (для GaAs: = 1,76 эВ; = 2 эВ)), то получившийся при этом закон будет учитывать все три представленных эффекта изменения эффективной массы от энергии:

m =

(5).

Все вышеперечисленные подстановки проиллюстрированы на Рис. 1 в виде трёх графиков, построенных в нормированном виде.

Так как полученное выражение достаточно громоздко и не удобно для применения в практических расчетах, можно, в качестве феноменологического подхода, не рассматривать отдельно каждый из вышеперечисленных случаев, а обобщить их в виде соотношения, полученного после разложения = f (W) в ряд Тейлора и ограничения первым членом этого ряда [2, 5]:

(6).

где p_m — безразмерный параметр, зависящий от типа полупроводника, определяемый из его дрейфовой характеристики.

Рис. 1. — Энергетические зависимости нормированной эффективной массы для основной долины GaAs (график 1, уравнение (4)), боковой долины (график 2, уравнение (4)) и суммарная, учитывающая междолинный переход (график 3, уравнение (5)).

Этот вывод подтверждается графическим сравнением соотношений (5) и (6), приведённом на Рис. 2, из которого видно практически полное совпадение кривых, особенно при, что соответствует диапазону изменения ?4,2.

Рис. 2. — Энергетические зависимости нормированной эффективной массы, рассчитанные по уравнениям (5) (график 1) и (6) (график 2).

Проведём анализ соотношений (5) и (6) с использованием дифференциальных уравнений сохранения [8]:

; (7).

; (8).

где: e — заряд электрона; и — времена релаксации квазиимпульса p и энергии W соответственно.

После подстановки (7) в (6) и рассмотрения стационарного случая этих уравнений, получим в нормированной форме:

(9).

где: — напряжённость порогового электрического поля эффекта Ганна [2].

Подставляя в уравнение (9) зависимости m (W), полученные ранее, можно оценить для вышеперечисленных случаев (4) — (6) влияние внешнего электрического поля на среднюю энергию носителей с учетом разных механизмов дисперсии (рис. 3) [6, 7].

Рис. 3. — Зависимости нормированных значений средней энергии носителей от внешнего постоянного поля, 1- для основной долины, 2 — для боковой долины, 3 — с учетом междолинного перехода, 4 — рассчитанный с использованием уравнения (6).

Из графиков, приведенных на рис 3, видно, что график 4, построенный с использованием уравнения (6), хорошо аппроксимирует кривую 3, построенную по уравнению (5) в диапазоне значений, что соответствует вышеупомянутому условию, и что вполне удовлетворяет обычному рабочему режиму приборов, использующих разогревные эффекты в структурах из GaAs [9 — 10].

Используя (6), определим плотность выходного тока как:

E.

Введя параметры:, а также.

.

можно из решения стационарного случая уравнений (7) и (8), получить в нормированном виде:

. (10).

Полученное уравнение имеет компактный вид и удобно для использования как для аналитических, так и для численных прикладных расчётов. График этой зависимости приведён на рис. 4.

Рис. 4. — График, построенный по соотношению (10).

Видно, что этот график, определяет экстремум в точке = 1, что соответствует виду дрейфовой характеристики для GaAs (он может быть также построен для объёмов других структур полупроводников подобного типа). Это соответствие также подтверждается результатами анализа 3-го случая вышеизложенных рассмотрений m (W) по соотношению (5).

• 1. Малышев В. А. Метод анализа микроволновых нелинейных процессов в объёме полупроводников с переменной эффективной массой носителей заряда в сверхрешётках и в приборах на их основе // Известия ВУЗов. Электроника. 1999. № 4. С. 3−10.
• 2. Малышев В. А. Теория разогревных нелинейностей плазмы твёрдого тела. // Изд. Ростовского Университета. 1979. 264 С.
• 3. Malyshev I.V., Fil K.A., Parshina N.V. Methods of the Dispersion Type Accounting on Output Parameters of А^IIIB^V Type Semiconductors in Strong Electric Fields. // Materials of 2017 International Conference on Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications (PHENMA 2017). Jabalpur. India. 2017. pp.167 — 168.
• 4. Малышев И. В., Осадчий Е. Н., Филь К. А. Способы управления индуцированной дрейфовой характеристикой горячих носителей внешним магнитным полем и его ориентацией относительно электрического // Успехи современной науки. 2016. № 12. С. 26 — 29.
• 5. Малышев И. В., Филь К. А., Паршина Н. В. Нелинейность коэффициента диффузии горячих носителей в объёме полупроводника под действием электрического и магнитного полей // Известия ВУЗов. Физика. 2017. № 6. С. 3 — 6.
• 6. Фиговский О. Л., Кудрявцев Н. П., Ольховик Е. О. Устройство для измерения магнитных характеристик ферромагнитных материалов при объемном напряженном состоянии // Инженерный вестник Дона. 2016. № 3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2016/3740.
• 7. Богданов С. А., Захаров А. Г., И. В. Писаренко И.В. Влияние многозарядных примесных центров на распределение потенциала в приповерхностной области полупроводника // Инженерный вестник Дона. 2013. № 1. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/3740.
• 8. Кротов В. И., Малышев И. В. Феноменологическая теория диффузионных свойств носителей заряда в сверхреш? тках и полупроводниках с произвольным законом дисперсии // Электронная техника. Сер.6. 1984. Вып. 1(186). С. 41−45.
• 9. Brshov H., Ryzhii V. A computer simulation of suppression of hot carrior degradation in SiKOSFETs doped by Germanium // Proceedings of 2nd International conference on VLSI and CAD. Seoul. 1991. pp.171−174.
• 10. Павленко Д. В., Прохоров Э. Д. Двумерная модель электронных процессов в диодах Ганна с учетом ударной ионизации // Вестник ХНУ. Радиофизика и электроника. 2004. — № 622. С. 17 — 22.

References

• 1. Malyshev V.A. Izvestija VUZov. Jelektronika. 1999. № 4. pp. 3−10.
• 2. Malyshev V.A. Teorija razogrevnyh nelinejnostej plazmy tvjordogo tela. // Izd. Rostovskogo Universiteta. 1979. 264 p.
• 3. Malyshev I.V., Fil K.A., Parshina N.V. Materials of 2017 International Conference on Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications (PHENMA 2017). Jabalpur. India. 2017. pp. 167 — 168.
• 4. Malyshev I.V., Osadchij E.N., Fil' K.A. Uspehi sovremennoj nauki. 2016. № 12. pp. 26 — 29.
• 5. Malyshev I.V., Fil' K.A., Parshina N.V. Izvestija VUZov. Fizika. 2017. № 6. pp. 3 — 6.
• 6. Figovskij O.L., Kudrjavcev N.P., Ol’hovik E.O. Inzhenernyj vestnik Dona (Rus). 2016. № 3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2016/3740.
• 7. Bogdanov S.A., Zaharov A.G., I.V. Pisarenko I.V. Inzhenernyj vestnik Dona (Rus). 2013. № 1. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/3740.
• 8. Krotov V.I., Malyshev I.V. Jelektronnaja tehnika. Ser.6. 1984. Vyp. 1(186). pp. 41- 45.
• 9. Brshov H., Ryzhii V. Proceedings of 2nd International conference on VLSI and CAD. Seoul. 1991. pp.171−174.
• 10. Pavlenko D. V., Prohorov Je. D. Vestnik HNU. Radiofizika i jelektronika. 2004. — № 622. pp.17 — 22.