Телеграфный процесс. 
Исследование уравнения диффузии

Рассмотрим теперь ситуацию, когда — случайная функция времени. А именно будем считать, что — телеграфный случайный процесс, то есть.

(9).

где — число перемен знака в интервале; - константа не зависящая от времени, постоянная составляющая коэффициента диффузии. Поскольку коэффициент диффузии должен быть неотрицательным, будем считать, что. Ведем также обозначение.

.

На рисунке 1 представлен график зависимости величины от времени.

Рис. 1. График зависимостиот t.

Число перемен знака в интервале для телеграфного процесса имеет распределение Пуассона.

Здесь есть вероятность того, что число перемен знака на интервале равна и .

Найдем среднее число перемен знака в интервале.

Величина в последнем выражении имеет смысл среднего числа перемен знака в единицу времени.

Для дальнейших вычислений нам потребуется среднее значение величины .

Вычислим корреляционную функцию:

(10).

считая, что .

Заметим, что.

Применяем формулу по свертке ряда Маклорена и получаем:

Из полученного выражения видно, что величина.

— это корреляционное время. А это означает, что на временах корреляционная функция (10) обращается в ноль.

Вывод уравнения для с (x, t)

Подставляя в уравнение (2) выражение для коэффициента диффузии с учетом телеграфного процесса, получим.

Усредняя последнее уравнение по числу перемен знака, и используя обозначения, , находим.

(11).

Умножим (11) на и усредним по числу перемен знака.

(12).

Кроме того, учтем, что для пуассоновского случайного процесса имеет место соотношение [11]:

(13).

Здесь — функционал вида. В нашем случае плотность распределения вероятности имеет именно такой функционал и, следовательно, полагая в (13) получим.

(14).

Уравнения (11), (12) и (14) образуют полную систему уравнений. Исключая из этой системы величины.

получим окончательное уравнение для.

(15).