Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называется некоторое утверждение о свойствах генеральной совокупности. Например, утверждение о том, что некоторая случайная величина распределена нормально, является статистической гипотезой. Можно также высказывать гипотезы о значениях числовых характеристик, их соотношениях и т. д. Любая гипотеза формулируется до опыта и проверяется на основе последующего эксперимента.

Процедура проверки статистической гипотезы производится при помощи критерия — функции результатов наблюдения, включающей в себя также параметры, по поводу которых высказаны предположения. Необходимо, чтобы случайная функция-критерий имела известный закон распределения. Критерий имеет некоторую область возможных значений, которые он принимает в зависимости от конкретной выборки. В соответствии с характером распределения одни значения критерия являются более вероятными, другие менее. При проверке статистических гипотез ситуацию огрубляют тем, что область маловероятных значений критерия считают совсем запрещенной: если критерий принял столь маловероятное значение, то гипотеза считается неверной и отвергается. Если же критерий принял «достаточно вероятное» значение, то считается, что гипотеза не противоречит опыту и может быть принята. Таким образом, область возможных значений делится на две части. Одна называется областью принятия гипотезы, другая (где гипотеза должна быть отвергнута) — критической областью. Чтобы проверить гипотезу, надо вычислить критерий и посмотреть, в такую область попадает вычисленное значение.

Примерами критериев для проверки гипотез могут служить функции (1.18)—(1.20), которые раньше использовались для построения доверительных интервалов.

Ошибки, допускаемые при проверке гипотез.

Поскольку вычисления критерия производятся по случайной выборке, то и результат может быть различным. Всегда имеется некоторая вероятность получить как значение, отвергающее гипотезу, так и значение, требующее ее принятия. Иными словами, может быть совершена ошибка.

Итак, высказана некоторая гипотеза, которая может быть объективно верна или неверна. Затем берется выборка, вычисляется критерий и выносится решение принять гипотезу или ее отвергнуть. Возможные варианты приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Последствия решений.

Вероятность совершить ошибку 1-го рода, а называется уровнем значимости. Иллюстрацией этого рода ошибок могут служить сюжеты драмы М. Ю. Лермонтова «Маскарад» или трагедии Шекспира «Отелло». Вероятность не совершить ошибку 2-го рода (1 — (3) называется мощностью критерия. Здесь можно вспомнить доверчивых людей — участников заведомо ложных финансовых пирамид.

Вероятности ошибок 1-го и 2-го рода зависят от выбора размеров области принятия гипотезы и критической области. При фиксированном объеме выборки N стремление уменьшить ошибку 1-го рода с необходимостью приводит к увеличению ошибки 2-го рода. Подобная ситуация встречается при выборе значения порога срабатывания для обработки информации, поступающей одновременно с помеховым сигналом. Повышению порога соответствует снижение вероятности ложного срабатывания при одновременном увеличении вероятности пропуска полезного сигнала. При снижении порога справедливо обратное суждение. Обычно, исходя из конкретной ситуации, задаются приемлемой вероятностью ошибки 1-го рода (уровнем значимости). Типичное значение выбираемого уровня значимости, а = 0,05. Это означает, что в 5 случаях из 100 мы согласны отправить в брак годные изделия. Задание уровня значимости однозначно определяет критическую область, а следовательно, и область принятия гипотезы. Мощность критерия оценивает число негодных изделий, которое мы готовы воспринимать в качестве годных.

Рассмотрим по этапам процесс проверки статистической гипотезы.

• 1. Формулировка гипотеза Н₀. Обычно гипотеза высказывается в форме, отрицающей наличие каких-либо видимых эффектов. Поэтому основная гипотеза Н₀ называется нулевой.
• 2. Формулировка альтернативной гипотезы Н_г Нулевой гипотезе может быть много альтернатив. Нужно выбрать одну, которая для нас существенна.
• 3. Выбор уровня значимости а (выбор значения вероятности ошибки 1-го рода, которое представляется приемлемым).
• 4. Выбор критерия для проверки гипотезы Н₀.
• 5. Нахождение функции распределения критерия при условии, что нулевая гипотеза Н₀ справедлива.
• 6. Нахождение критической области (при этом используются сведения о функции распределения критерия, альтернативной гипотезе Н_г и уровне значимости а).
• 7. Извлечение выборки (х_1з х₂, …, x_N).
• 8. Вычисление по результатам выборки значения критерия.
• 9. Принятие решения (если вычисленное значение попадает в критическую область, то гипотеза Н₀ отвергается, если же оно попадает в область принятия гипотезы, то она считается допустимой, делают вывод, что данные выборки не противоречат гипотезе Н₀).

Приведем примеры проверки некоторых типичных гипотез.