Построение приближенного аналитического решения задачи

Очевидно, что нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка (5) не допускает построения точного аналитического решения, поэтому, на начальном этапе, применим для его исследования асимптотический метод.

Положим. В результате уравнение (5) примет вид:

.

Интегрируя дважды последнее равенство и принимая во внимание (8), получим:

.

где — произвольная функция интегрирования.

Последнее равенство является неоднородным уравнением второго порядка параболического типа. Умножая обе его части на, а затем, интегрируя, с учетом (7) будем иметь:

.

Интегрируя последнее равенство по в границах от до, находим:

.

Пользуясь произвольностью выбора функции, перепишем последнее равенство в виде:

(9).

где для удобства записи итоговых результатов положили .

Далее, удовлетворяя (9) условию (6), будем иметь.

.

откуда находим:

. (10).

Подставляя полученное значение для радиуса растекания капли (10) в (9), получим:

. (11).

Заметим, что функцию можно рассматривать как новую переменную, характеризующую геометрию профиля вблизи линии трехфазного контакта, а параметр выбран равным единице, что не нарушает общности рассуждений.

Полученное решение (11) определяет профиль капли в области апекса и соответствует требованию пологости капли как решение параболического уравнения. При этом равенство соответствует линии трехфазного контакта. Решение (11) для по отношению к исходной задаче принято называть внешним [13]. В целях его продолжения на оставшиеся значения аргумента, т. е. для нахождения внутреннего решения и согласования полученных решений необходимо определить функцию .

Для определения функции подставим выражение (11) в уравнение (5), предварительно определив производные от функции .

Дифференцируя (11), будем иметь:

(12).

. (13).

Из (5), принимая во внимание соотношения (12), (13), а также выражение (11), получим.

(14).

Рассмотрим отдельно выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части равенства (14).

Имеем:

.

С учетом полученного равенства, (14) примет вид:

.

Отсюда, в результате элементарных преобразований, будем иметь.

(15).

где .

Раскрывая скобки в правой части последнего равенства, перепишем (15) в виде:

или.

. (16).

Дальнейшие исследования проведем для случая, когда изотерма расклинивающего давления определяется равенством, т. е. .

Соотношение (16) при принимает вид:

. (17).

Разделяя переменные в уравнении (17), получим.

. (18).

Из равенства (18) очевидно следует, что функции разных аргументов могут совпадать лишь в случае, когда каждая из частей равенства является постоянной величиной. Таким образом, на основании (18), получаем однопараметрическое уравнение:

. (19).

Нелинейное дифференциальное уравнение (19) будет иметь явные решения лишь при. В этом случае (19), в результате элементарных преобразований примет вид:

. (20).

Интегрируя (20), будем иметь:

или ,.

где — постоянная интегрирования.

Для определения положим в последнем равенстве. Принимая высоту безразмерной капли в апексе в начальный момент времени равной единице, с учетом (11) получим .

Таким образом, окончательно устанавливаем, что .

Следовательно, для будем иметь:

. (21).

Из (10) и (21) находим:

(22).

где, как уже было отмечено выше, .

Для размерных переменных равенство (22) примет вид:

. (23).

Положив в (23), получим:

. (24).

Соотношение (24) устанавливает связь между радиусом растекания капли в начальный момент времени и нормализованным горизонтальным размером.

Скорости растекания капли для размерных переменных определим из (23). В результате будем иметь:

.

Полагая здесь, приходим к равенству:

.

Считая, что в начальный момент времени значение согласно (24) имеет приращение, а приращение по времени, из последнего соотношения заключаем:

. (25).

Следовательно, выражение (21) для может быть записано в виде:

. (26).

Также могут быть преобразованы выражения для радиуса растекания капли в безразмерных (22):

и размерных переменных (23):

. (27).

Абсолютно аналогично, принимая во внимание (26) и (11), получаем выражения для высоты капли в апексе для безразмерных:

и размерных переменных:

. (28).

Из (27), (28) следует, что выбор нормализующих параметров, равносилен заданию геометрических параметров размерной капли и в начальный момент времени, определение которых для натурных экспериментов также может быть определено на основе методов математического моделирования [14, 15]. И, наоборот, при априори известных и переход к безразмерным параметрам должен осуществляться по соответствующим характерным значениям длины, высоты и времени .

При этом функция, принимая во внимание (11) и (21), окончательно, для случая безразмерных переменных, примет вид:

.