Вычисление площадей плоских фигур

В прямоугольной системе координат площадь ограниченной правильной в направлении оси ОХ области.

равна.

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть область D — правильная в полярных координатах, т. е. прямая ц = c, (c — const) пересекает границу области D не более двух раз. Пусть область D задается неравенствами в? ц? б, с1(ц)? с? с2(ц).

Тогда двойной интеграл функции f (x, y), заданной в прямоугольных координатах, можно свести к вычислению двукратного интеграла в полярных координатах:

.

Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах

Площадь правильной области.

в полярных координатах находится так:

Вычисление объемов с применением двойного интеграла

Объем V тела, ограниченного поверхностью.

z = f (x, y),.

где f (x, y) — неотрицательная функция, плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси ОZ, равен двойному интегралу от функции f (x, y) по области D:

Пример: вычислить интеграл.

.

где D — круговой сектор, изображенный на рисунке.

Решение: Множество D является элементарным. Здесь, а = 0, b = 1,.

Таким образом искомый интеграл примет вид:

=.

Пример: вычислить интеграл.

.

где D — круг .

Решение: применим формулу:

.

Получим.

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами Поэтому:

=.