Уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости

Уравнение Эйлера которое выражают условия равновесия жидкости, уже были нами получены:

(4.1).

Чтобы получить уравнения движения воспользуемся принципом Даламбера для перехода от равновесия к движению необходимо к действующим силам прибавить силы инерции.

С учетом того, что уравнение (4.1) приведено к единицы массы, соответствующие силы инерции будут:

; ;

Прибавляя силы инерции, действующие силы к силам получим:

(4.2).

Уравнения (4.2) были получе6ны в 1755 г. Академиком Российской Академии наук Эйлером и названо дифференциальным уравнением движения невязкой жидкости.

Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности или сплошной жидкости основано на законе сохранения массы и исходит из положения механики сплошных сред о том, что в нутрии движущейся жидкости не может произойти разрыв, т. е. установится пустота.

Уравнение неразрывности может быть представлено в дифференциальной форме для частицы жидкости и элементарной струйки, а также в конечных величинах для потока жидкости.

Выделим в потоке элементарный объем. Рассмотрим изменение протекающей массы жидкости по оси Ox. Скорость жидкости вытекающей через левую грань Ux, тогда скорость вытекающей через правую Принимая с=const, можно записать, что через0 левую грань за время dt пройдет масса.

;

Uxdt=dx;

А через правую.

Разность этих масс составит.

Рассматривая по аналогии изменение массы жидкости по осям Oy и Oz, запишем.

и.

Закон сохранения массы требует, чтобы общее изменение массы, прошедшей через выбранный объем, равнялось нулю.

=0.

(4.3).

Уравнение (4.3) называется уравнением неразрывности или сплошности в дифференциальной форме для произвольного движения не6сжимаемой жидкости.

При установившемся движении уравнение неразрывности можно вывести исходя из свойств элементарной струйки, в соответствии с которым жидкость из струйки не вытекает в стороны и не притекает в нее извне, но в то же время местные скорости разные по длине струйки. Отсюда следует, что количество жидкости, притекающей к струйке в начальном сечении и вытекающей из нее в конечном сечении, равны между собой и общий объем жидкости в струйке не изменяется т. е. элементарные расходы в единицу времени:

втекает ,.

вытекает.

тогда (4.4).

Выражение (4.4) и является уравнением неразрывности для элементарной струйки.

Для потока жидкости уравнение неразрывности будет иметь вид:

или.

Т. е. отношение средних скоростей в сечениях потока обратно пропорционально отношению их площадей. Из этого следует, что при установившемся сечении с уменьшением площади сечения средняя скорость увеличивается и наоборот.