Независимость событий. 
Теория вероятностей и математическая статистика

Важным понятием в теории вероятностей является понятие независимости событий. Пусть (Q, йй, Р) — произвольное вероятностное пространство. События Л и В, принадлежащие 2Й, называются независимыми, если.

Если события А и В независимы, то.

т.е. условная вероятность события Л, в предположении, что наступило событие В, равна безусловной вероятности Р (Л) события Л. Покажем, что если события, А и В независимы, то независимыми будут и события Л, В.

что и требовалось доказать.

Аналогично можно показать, что из независимости событий Л и В следует независимость событий Л и В, А и В.

Пример 1.31. Рассмотрим события Л = {d_x > 5} и В = {d_y > 10} в эксперименте из примера 1.6, в). Найдем вероятности событии Р (А), Р (В) и Р (АВ). Множество элементарных исходов, благоприятствующих событиям Л, В и АВ, указаны, на рис. 1.20. В соответствии со схемой геометрических вероятностей имеем.

Рис. 1.20.

Таким образом, т. е. Л и В являются зависимыми событиями.

События А _ь Л₂,…, А_п называются попарно независимыми, если любые два из них независимы.

События А _1? Л₂,А_п называются независимыми в совокупности, если для любого 2 < k < п, любых 1 < ц < г₂ < … < 4 выполняются равенства P (A_i{,Л, —_л) = P (A_il)…P (A_if).

Из независимости событий в совокупности следует их попарная независимость. Из попарной же независимости событий, вообще говоря, не следует их независимость в совокупности. Это показывает следующий пример.

Пример 1.32. Пусть в лототроне находятся четыре отличающиеся только цветом шара. Предположим, что один шар окрашен в красный цвет, другой — в синий, третий — в зеленый, а четвертый окрашен во все три цвета. Пусть Л, В и С обозначают события, состоящие в том, что извлеченный наудачу шар имеет соответственно красный, синий и зеленый цвет. Покажем, что события Л, В и С попарно независимы. Поскольку из четырех шаров только два будут иметь красный, синий и зеленый цвет, то Найдем теперь вероятность события АВ, т. е. события, состоящего в том, что извлеченный шар имеет красный и синий цвет. Так как только один шар из четырех имеет эти цвета, то Р (ЛВ) = ¼, аналогично.

Из равенств (1.22) и (1.23) следуют.

т.е. имеется попарная независимость событий. Покажем, что события А, В и С не будут независимыми в совокупности, т. е.

В самом деле, событию Л ВС, которое состоит в том, что извлеченный шар имеет все три цвета, благоприятствует один элементарный исход из четырех возможных. Следовательно, Р (АВС) = ¼. Из этого равенства и (1.22) следует, что.

что и требовалось доказать.

Этот пример показывает, что условия независимости в совокупности являются более сильными по сравнению с попарной независимостью.