Рассеяние многоэлектронным атомом

Если в атоме имеется Z электронов, то при условии, что атомные размеры не во много раз меньше длины волны первичных рентгеновских лучей, излучения, рассеянные отдельными электронами атома, нельзя считать независимыми: различные электроны одновременно излучают электромагнитные волны, распространяющиеся по каждому направлению s с различными фазами. Поэтому, для того чтобы найти выражение для интенсивности рассеянного излучения, необходимо сначала сложить амплитуды колебаний электрического вектора излучений, рассеянных каждым отдельным электроном. Эти амплитуды, как было показано выше, отличаются от амплитуды «томсоновского» рассеяния условного электрона, находящеегося в центре атома, множителем exp{/(2re/>.)Sr}. Для различных электронов атома вектор S имеет одно и тоже значение. Каждый электрон характеризуется своим радиус-вектором г". Таким образом, результирующее электрическое поле волны, рассеянной всеми электронами атома:

где E_v определяется по (6.20). При этом предполагается, что точка наблюдения рассеянной волны удалена от центра атома на расстояние R, значительно превосходящее атомные размеры. Поэтому можно считать, что для всех электронов E_v

имеет одно и то же значение. Принимая во внимание, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды электрического поля:

где J определено по (6.25), a J_a равно.

Преобразуем квадрат суммы в (6.29):

так как квадрат модуля комплексной функции равен произведению самой функции на сопряженную с ней функцию. В выражении (6.30) каждый из членов первой суммы равен единице, поэтому получим:

Учтем тот факт, что с течением времени электроны в атоме не остаются неподвижными, т. е. для нахождения средней по времени интенсивности J_a необходимо усреднить выражение (6.31) по различным возможным положениям электронов в атоме. Для этого воспользуемся введенной выше вероятностью р (г)<�Л нахождения электрона в объеме ск. Вероятность одновременного нахождения электрона п в объеме dx" и электрона т в объеме di_m равна произведению вероятностей: p"(r_n)p_m(r",)dx"dx_m. Это дает.

Принимая во внимание (6.27), получим.

Введем обозначение.

Функция / называется атомным фактором или функцией атомного рассеяния. Согласно (6.32) имеем:

До сих пор мы пользовались чисто классическими представлениями. При рассмотрении вопроса о рассеянии рентгеновских лучей методами квантовой механики вероятность р"(г") заменяется квадратом волновой функции электрона j/", а фактор электронной структуры f_en — матричным элементом f_enm, равным по аналогии с выражением (6.27).

Детальное рассмотрение рассеяния методами квантовой механики [10−12] приводит к следующему результату:

первый член выражения (6.34), а именно Z (^1_l/e"|²) ^дает

л=1.

некогерентную часть рассеянного излучения, а второй член этого выражения, т. е. квадрат атомного фактора f², — когерентную часть рассеяния. Таким образом, атомный фактор представляет собой отношение амплитуды электрического поля излучения, рассеянного (без изменения длины волны) атомом, к амплитуде электрического поля, рассеянного отдельным электроном под тем же углом 0.

Так как фактор электронной структуры для сферически симметричного распределения р (г )ск зависит от угла рассеяния 0 (см. (5.21)), то атомный фактор также является функцией аргумента (lA.)sin (0/2). Поэтому атомный фактор табулируют или представляют графически как функцию от (lA,)sin (0/2). Такие кривые получили название /-кривых.

Для вычисления атомного фактора по (6.35) необходимо найти волновую функцию у распределения электрона в атоме [11, 13, 14]. Это может быть сделано различными способами:

• а) метод самосогласованного поля с учетом и без учета обмена [11, 15];
• б) приближенные методы [14, 16], такие как, например, метод Паулинга-Шермана, в котором атомные волновые функции считаются водородоподобными с соответствующими значениями эффективного заряда ядра [11, 17];
• в) метод Томаса-Ферми, в котором электронная оболочка рассматривается как вырожденный электронный газ [11].

Наиболее точными значениями амплитуд атомного рассеяния до настоящего времени считаются результаты, вычисленные по методу Хартри-Фока. При использовании этого метода каждый электрон рассматривается как движущийся в самосогласованном поле, создаваемом ядром со всеми остальными электронами, причем учитывается также обменное взаимодействие электронов в атоме. Однако в большинстве работ эти расчеты выполнены в приближении свободного атома, в то время как электронная плотность атомов в кристаллах и, прежде всего, валентные электроны, перераспределяются в результате взаимодействия с ближайшими соседями.

Несмотря на наличие работ, посвященных точному учету указанного влияния на интенсивность рассеяния рентгеновских лучей и нейтронов, задача эта не получила удовлетворительного решения. Наибольшие трудности связаны с необходимостью использования некоторой исходной модели распределения электронной плотности валентных электронов, весьма надежного и прецизионного учета теплового движения и, наконец, дисперсионных поправок.