Геометрическая оптика. 
Геометрическая оптика

Задолго до выяснения природы света были на опыте установлены следующие четыре основных закона оптики:

• 1. Закон прямолинейного распространения света.
• 2. Закон независимости световых пучков.
• 3. Закон отражения света.
• 4. Закон преломления света.

Закон прямолинейного распространения света. В однородной среде свет распространяется по прямым линиям. Вообще говоря, понятие прямой возникло из оптических наблюдений как линии, по которой распространяется свет в однородной среде. Этот закон теряет силу, если мы переходим к очень малым отверстиям. В данном случае начинает проявляться волновая природа света и отклонение от прямолинейного распространения составляет сущность дифракции.

Закон независимости световых пучков. Световой поток можно разбить на отдельные световые пучки, выделяя их, например, при помощи диафрагм. Действие этих пучков оказывается независимым, т. е. суммарный эффект представляет собой сумму вкладов каждого светового пучка в отдельности. Ограниченность этого закона проявляется в явлениях интерференции света.

Закон отражения света. Луч падающий, нормаль к отражающей поверхности и луч отраженный лежат в одной плоскости (рис.), причем углы между лучами и нормалью равны между собой.

.(1).

Закон преломления света. Падающий и преломленный лучи лежат в одной плоскости с нормалью к границе раздела. Угол падения и угол преломления связаны между собой соотношением.

(2).

где — относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления .

Абсолютный показатель преломления среды n есть показатель преломления этой среды относительно вакуума. Он равен отношению скорости c электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости в среде .

Полное внутреннее отражение. Если свет распространяется из среды с большим показателем преломления (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления (оптически менее плотную), например, из стекла в воду, то, согласно (1).

.

Отсюда следует, что преломленный луч удаляется от нормали. С увеличением угла падения увеличивается угол преломления до тех пор, пока при некотором угле падения () угол преломления не окажется равным. Угол называется предельным углом. При углах падения весь падающий свет полностью отражается (рис.). Таким образом, при углах падения от до луч полностью отражается в первую среду, причем интенсивности отраженного и падающего лучей одинаковы. Это явление называется полным внутренним отражением. Предельный угол, очевидно, удовлетворяет условию.

.(3).

Явление полного отражения используется в призмах полного отражения. На рис показаны призмы полного отражения, позволяющие а) повернуть луч на 90; б) повернуть луч на 180; в) перевернуть изображение. Такие призмы применяются в оптических приборах (например, в биноклях, перископах). Явление полного отражения используется также в световодах, представляющие собой тонкие нити (волокна) из оптически прозрачного материала. По причине полного отражения от боковой поверхности световода свет распространяется только вдоль волокна. С помощью световодов можно как угодно искривлять путь светового пучка. Световоды используются для передачи информации в ЭВМ, медицине (для диагностики внутренних органов) и др.

Принцип Ферма. В физике исключительное значение имеет метод принципов, позволяющий на основе небольшого числа общих предположений — принципов — обосновать известные законы некоторого круга явлений и предсказать еще неоткрытые закономерности.

В геометрической оптике таким принципом является принцип кратчайшего оптического пути (или минимального времени распространения), именуемым также принципом Ферма. По определению оптической длиной пути называется величина.

.

Принцип Ферма можно рассматривать как общий закон распространения света, другие законы являются его следствием (за исключением закона независимости световых пучков). Действительно, нетрудно видеть, что для однородной среды этот принцип приводит к закону прямолинейного распространения света согласно геометрической аксиоме о том, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками; для случая отражения и преломления этот принцип также приводит к соответствующим законам.

Обратимость световых лучей. Из принципа Ферма вытекает обратимость световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения в обратном направлении.

Вывод закона отражения из принципа Ферма. Пусть свет попадает из точки A в точку B, отразившись от поверхности MN (рис.). Среда, в которой проходит луч, однородна. Поэтому минимальность оптического пути сводится к минимальности его геометрической длины. Из рисунка видно, что наименьшей длиной обладает путь луча, отразившегося в точке O, для которой угол отражения равен углу падения.

Вывод закона преломления из принципа Ферма. Найдем точку, в которой должен преломится луч, распространяющийся от A к B, чтобы оптическая длина пути была экстремальна (рис.). Для произвольного луча оптическая длина пути равна.

.

Чтобы найти экстремальное значение, продифференцируем L по x и приравняем производную нулю.

.

Таким образом, получаем соотношение.

.

т.е. закон преломления.

Основные определения. Всякая оптическая система осуществляет преобразование световых пучков. Если любая точка предмета изображается в виде точки, изображение называется точечным или стигматическим. В этом случае все лучи, вышедшие из точки P, пересекутся в одной точке P. Эта точка представляет собой оптическое изображение точки P. Изображение называется действительным, если световые лучи в точке P действительно пересекаются, и мнимым в противном случае. Оптическая длина всех лучей, идущих от точки P до ее изображения P одинакова. Поскольку в противном случае свет пошел бы по наименьшему оптическому пути.

Вследствие обратимости световых лучей источник света P и изображение P могут поменяться ролями — точечный источник, помещенный в P, будет иметь свое изображение в P. По этой причине P и P называются сопряженными точками.

Оптическая система, которая дает стигматическое изображение, геометрически подобное отображаемому предмету, называется идеальной.

Преломление и отражение на сферической поверхности. Предположим, что две среды с показателями преломления и разделяются сферической поверхностью (рис.). На прямой L1O, проходящей через центр сферы O, в точке L1 поместим точечный источник света. Луч идущий в направлении L1O пересекает поверхность без преломления. Пусть луч, преломившись на поверхности в точке A, пересекает прямую L1O в точке L2. Для узких (параксиальных) пучков можно записать.

и .

Из треугольника AL1O по теореме синусов имеем.

.

из треугольника OAL2.

.

Отсюда.

.(4).

В дальнейшем будем руководствоваться следующим правилом знаков: отрезки, отсчитываемые вправо (в направлении распространения света) от точки S, считаем положительными, отсчитываемые влево — отрицательными. Таким образом,, , (радиус сферы),,. Из формулы (4) получим.

.

Этой формуле удобно придать вид.

(5).

где и — фокусные расстояния. Согласно их определению.

.

Соотношение (5) позволяет отыскать положение точки L2 по заданному L1. Оно справедливо для любого параксиального луча. Таким образом, все лучи параксиального пучка, выходящего из L1, пересекают ось в одной и той же точке L2, которая является, следовательно, стигматическим изображением источника L1. Основное уравнение (5) охватывает все случаи преломления и отражения лучей на сферической поверхности. Пользуясь правилом знаков можно получить случай выпуклой () или вогнутой () поверхности. В зависимости от знака будем иметь дело с действительным или мнимым изображением. В случае изображение точки есть действительно точка пересечения преломленных лучей. В случае лучи реально не пересекаются, изображение соответствует точке пересечения воображаемого продолжения лучей. Возможен также случай мнимого источника, когда .

Формула (5) пригодна и для отражающей поверхности, если положить. Действительно, положив в законе преломления, имеем или, т. е. получаем закон преломления (1). Из соотношения (5) найдем.

.

где, т. е. известную формулу сферического зеркала. Случаи вогнутого и выпуклого зеркала отличаются лишь знаком R.

Чтобы получить законы плоского зеркала, достаточно положить. В этом случае найдем, т. е. изображение точки в плоском зеркале мнимое и симметрично расположенное.

Фокусные расстояния задают положения соответствующих фокусных точек поверхности: точка F1 — передний фокус, точка F2 — задний фокус. Из основного уравнения (5) следует, что при.

.

.

Таким образом, фокусы это точки, в которых сходятся после преломления параллельные лучи (т.е. лучи, идущие из бесконечно удаленной точки). Фокусы, так же как и изображение, могут быть действительными и мнимыми.

Преломление в линзе. Оптическая система представляет совокупность отражающих и преломляющих поверхностей, отделяющих друг от друга оптически однородные среды. Большое значение имеет случай оптической системы, состоящей из двух сферических поверхностей. Такая система представляет собой линзу. Линза называется тонкой, если ее толщина мала по сравнению с и, радиусами кривизны ограничивающих поверхностей (рис.). Прямая, проходящая через центры обеих поверхностей, называется главной оптической осью линзы.

Ограничимся рассмотрением тонких линз. В расчетах все расстояния будем отсчитывать от точки S, которая практически совпадает с и (рис.). Точка S называется оптическим центром линзы. Любой параксиальный луч, проходящий через S, практически не испытывает преломления. Действительно, для таких лучей участки обеих поверхностей линзы можно считать параллельными, так что луч, проходя через них, не меняет направления, а его смещением можно пренебречь в силу малой толщины линзы.

Преломление на первой сферической поверхности создало бы без второй сферической поверхности изображение C на расстоянии a от вершины, так что.

.

где и — фокусные расстояния первой поверхности, — расстояние до источника. Для второй поверхности C является источником света. Изображением этого источника после преломления на второй поверхности линзы является точка B. Для нее можно написать.

.

где и — фокусные расстояния второй поверхности, — расстояние до изображения. На основе этих уравнений после несложных преобразований можно получить формулу линзы.

.

где и — фокусные расстояния линзы.

. (6).

Если по обе стороны линзы располагается одна среда, то (6) приобретает вид.

,.

где, а формула линзы соответственно.

.

где .

В зависимости от знака f линза называется собирательной или положительной (), рассеивающей или отрицательной (). Параллельные лучи после преломления в положительной линзе становятся сходящимися, в отрицательной — расходящимися.

Если материал тонкой линзы имеет большую оптическую плотность, чем окружающая среда (например, стеклянная линза в воздухе), то собирательными будут линзы, утолщающиеся к середине (рис.), рассеивающими — линзы, утончающиеся к середине (рис.). Если материал тонкой линзы оптически менее плотнее окружающей среды преломляющие свойства линз изменятся на противоположные.

Изображение в тонкой линзе. Пусть малый объект, находящийся вблизи оптической оси линзы, изображается этой системой. Наиболее простое построение осуществляется с помощью следующих лучей:

• 1) луча, проходящего через оптический центр линзы и не изменяющего своего направления;
• 2) луча, идущего параллельно главной оптической оси; после преломления в линзе этот луч (или его продолжение) проходит через задний фокус линзы;
• 3) луча (или его продолжения), проходящего через передний фокус линзы; после преломления в ней он выходит параллельно ее главной оптической оси.

Для примера на рис. приведены построения изображений в собирающей и рассеивающей линзах.

Определив поперечное увеличение как, из рис. найдем.

.

Для действительных изображений и имеют разные знаки, т. е. изображение перевернутое, для мнимых изображений и имеют одинаковые знаки и изображение прямое.

Для очковых стекол применяется понятие оптической силы линзы. Оптической силой называется величина.

.

измеряемая в диоптриях (дптр 1/м).