Финансовая математика. 
Финансовая математика

Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора и приведенных ниже параметров сглаживания

Имеются поквартальные данные о кредитах, выданных банком (в условных единицах) Строка соответствует году, столбец — кварталу.

Требуется :

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора и приведенных ниже параметров сглаживания Параметры сглаживания альфа1 альфа2 альфа3.

Значения параметров 0,3 0,6 0,3.

• 2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации и средней квадратической ошибки
• 3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования случайной остаточной компоненты по критерию пиков

Оценить независимость уровней для рада остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,1 и d2=1,37) или по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32).

При исследовании нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию критическими уровнями считать 3,0−4,21.

• 4) Построить точечный прогноз на четыре шага вперед т, е. На 1 год
• 5)Отобразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные

Решение:

1)Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса Для оценки нач. значений a (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значения ряда адаптивный мультипликативный сглаживание прогноз Линейная модель имеет вид :

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного Уравнения а (0) и b (0).

=ОТРЕЗОК (B28:B35;A28:A35) =НАКЛОН (B28:B35;A28:A35).

Зная a (0), b (0), параметры сглаживания и коэффициенты сезонности рассчитаем параметры модели на момент t=1.

Уравнение Yp (t) = [a (t-1)+1*b (t-1)] * F (t-L) для t=1 примет вид [ a (0) + b (0) ] * F (-3).

Yp (1) = [ 44,43 + 0,90 ] * 0,86 = 38,94.

Уравнение a (t) = альфа1*Y (t)/F (t-L) + (1-альфа1) * [a (t-1)+b (t-1)] для t=1 примет вид.

a (1)=альфа1*Y (1)/F (-3)+(1-альфа1)*{a (0)+b (0)} = 0,3 * 39,0 / 0,86.

+ 0,7 * (44,43 + 0,90) = 45,35.

Уравнение b (t) = альфа3*[a (t)-a (t-1)] + (1 — альфа3)*b (t-1) для t=1 примет вид.

b (1)=альфа3*[a (1) — a (0)] + (1 — альфа3) * b (0) = 0,3 * (45,35 ;

— 44,43) + 0,7 * 0,90 = 0,91.

Уравнение F (t) = альфа2*Y (t)/a (t) + (1-альфа2)*F (t-L) для t=1 примет вид.

F (1)= альфа2*Y (1)/a (1) + (1-альфа2)*F (-3) =.

0,6 * 39,0 / 45,35 + 0,4 * 0,86 =0,86.

Определив для t=1 значения Y (1), a (1), b (1), F (1) по приведенному выше алгоритму определим эти значения для t= 2, 3, …, 16.

Для того, чтобы модель была адекватна исследуемому процессу ряд остатков E (t) должен обладать свойствами.

• а) случайности,
• б) независимости последовательных уровней и
• в) нормальности распределения

Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда сравниваем с двумя соседними.

Общее число поворотных точек ровно 9.

Поскольку неравенство p>q.

То свойство случайности уровней выполнено.

Проверка независимости (отсутствия автокорреляции) Проверку проводим двумя методами:

• а) по d-критерию Дарбина-Уотсона ;
• б) по первому коэффициенту автокорреляции r (1).

d pac=?(ei-ei-1)^2/?e (t)^2.

2,78.

d1 pac=4-d pac.

1,22.

d pac превышает 2, то это свидельствует о наличии отрицательной автокорреляции. Так как расчетное значение d1 попадает в интервал от d2 до 2. Свойство независимости выполняется. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверка по первому коэффициенту автокорреляции r (1).

Рассчитали r (1) по формуле -0,31.

r (1)= [СУММ (E (t)* E (t-1))] / [СУММ (E (t)^2]= -4,28 / 13,91.

Из условия задачи критическ. r= 0,32.

уровни независимы, модель адекватна Соответствие ряда остатков нормальному распределению определяем по RS — критерию.

S=КОРЕНЬ[(СУММ (E (t)^2/(N-1)] = 0,962 509 996.

R/S=(emax-emin)/S 3,729 796 441.

Выполняется нормальный закон распределения.

Оценим точность построенной модели.

Средняя по модулю относительная погрешность рассчитывалась из соотношения.

Eотн, сред=1/.N * СУММ{abs (E (t))/Yр (t)x100%} = 20,05/16 = 1,25.

Уровень точности удовлетворительный.

Составим точечный прогноз на 1 год вперед с t=17 по t=20.

Прогнозные значения на k шагов вперед рассчитываем по формуле.

Yp (t+k)= [ a (t) + k*b (t) ] * F (t — 4 + k) для t=16 имеет вид Yp (16+k)=[a (16)+k*b (16)] * F (16 — 4 + k).

Yp (17)=[ a (16)+1*b (16)]*F (16- 4 + 1)= 52,79.

Yp (18)= [a (16)+2*b (16)]*F (16 -4 +2)= 66,37.

Yp (19)= [ a (16)+3*b (16)]*F (16−4+3)= 79,31.

Yp (20)=[a (16)+4*b (16) *F (16−4+4)= 49,01.