Доказательство неравенств методом «от противного»

Метод доказательства «от противного» высказывания «из, А следует В» применяют в следующей форме: считают истинным высказывание «не выполняется В» и пытаются вывести отсюда справедливость высказывания «не выполняется А». Если это удается, то получается противоречие, из которого следует, что предположение о неверности, А — ошибочно. Покажем, как этот метод применяется при доказательстве неравенств.

Пример 4. Доказать, что для любого числа, а выполняется неравенство.

Доказательство: Предположим противное, что для некоторого числа а рассматриваемое неравенство неверно, то есть имеет место неравенство:

Умножим обе части неравенства на положительное число, при этом знак неравенства не изменится:

.

Из обеих частей неравенства можно вычесть выражение 2+.

После преобразований правой части получим:

Последнее неравенство не выполняется ни при каком значении а, правая часть неравенства не может принимать отрицательные значения. Полученное противоречие доказывает верность исходного неравенства.

Доказательство неравенств методом математической индукции

Доказательство неравенств методом математической индукции проводится по следующей схеме:

• 1. Проверяется неравенство для некоторого начального значения n, например, для n=1.
• 2. Предполагается, что неравенство выполняется для n=k.
• 3. Доказывается, что тогда неравенство выполняется для n=k+1.

Пример 5. Доказать, что если n = 2, 3, 4,…, то.

Доказательство:

• 1. При n = 2 неравенство верно
• 2. Предположим, что неравенство выполняется для n=k, то есть
• 3. Докажем, что тогда неравенство выполняется для n=k+1, то есть

для всех значений k>1.

Согласно принципу математической индукции, можно сделать вывод о том, что неравенство выполняется при всех значениях n = 2, 3, 4,…

Неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического n неотрицательных чисел

Если - любые неотрицательные числа, то.

Равенство имеет место при .

Задача 1. Доказать, что для любых двух положительных чисел a и b выполнено неравенство .

Доказательство:

І способ.

;

ІІ способ:

+1>0.

Среднее гармоническое двух положительных чисел a и b равно отношению удвоенного произведения этих чисел к их сумме.

Если среднее гармоническое положительных чисел a и b обозначить буквой h, то можно записать:

Величина, обратная среднему гармоническому a и b, есть среднее арифметическое величин, обратных a и b.

Докажем, что.

Данное неравенство верно для положительных чисел a и b.

Заметим, что.

Следовательно имеет место неравенство:

.

В математике используется понятие среднего квадратичного:

для двух положительных чисел a и b среднее квадратичное равно.

Покажем, что.

Для любых положительных и всегда будет выполняться неравенство:

Все приведённые средние значения связаны неравенствами:

для любых a, b > 0.

При этом знак равенства достигается лишь в том случае, когда a=b.