Асимптотические распределения оценок параметров

Из формулы (3) следует, что.

. (4).

Согласно Центральной предельной теореме (для выполнения ее условий необходимо предположить, например, что погрешности e_k, k = 1, 2, …, n, финитны или имеют конечный третий абсолютный момент; однако заострять внимание на этих внутриматематических «условиях регулярности» здесь нет необходимости) оценка d* имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией, ее оценка приводится ниже. Из формул (3) и (4) вытекает, что.

.

.

Последнее слагаемое во втором соотношении при суммировании по k обращается в 0, поэтому.

(5).

Формулы (5) показывают, что оценка a* является асимптотически нормальной с математическим ожиданием и дисперсией Отметим, что многомерная нормальность имеет быть, когда каждое слагаемое в формуле (5) мало сравнительно со всей суммой, т. е.

. (6).

Условие (6) выполнено, например, если t_k образуют (полную, т. е. без пропусков) арифметическую прогрессию, число членов которой безгранично растет.

Итак, дисперсии оценок МНК параметров a* и d* линейного тренда — те же, что и при отсутствии сезонных искажений (см., например, [2]). А вот их математические ожидания зависят от периодической составляющей. Однако в случае.

(7).

оценки a* и d* являются несмещенными.

Условия (7) являются необходимыми и достаточными для несмещенности и состоятельности оценок МНК коэффициентов линейной зависимости. Проверка условий (7) рассмотрена в конце статьи.

Несмещенность (в предположениях (7) и асимптотическая нормальность оценок метода наименьших квадратов позволяют легко указывать для них асимптотические доверительные границы и проверять статистические гипотезы, например, о равенстве определенным значениям, прежде всего 0.