Интерполяционный полином Лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

где L_n (х) — множитель Лагранжа Следовательно,.

Числитель и знаменатель не включают в себя значения x = x_t, т. к. в этом случае результат будет равен нулю.

В развернутом виде формулу Лагранжа можно записать:

Интерполяционный полином Лагранжа обычно применяется в теоретических исследованиях при доказательстве теорем, аналитическом решении задач и т. п.

Пример

Для функции у = sin кх найти выражение интерполяционного полинома Лагранжа, выбрав узлы х₀ = 0, xi=x, = —, х₂ = —.

6 2.

_IIU ««11 Наити значения полинома Лагранжа для значении х: — и —.

Определить абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Решение

1. Вычислим соответствующие значения функции в узлах:

Таблица 19.

Узлы интерполяции

Применяя формулу (101), получим.

2. Определим значения полинома Лагранжа для значений х: ^ и.

3. Определим погрешности вычислений.

Для этого найдем значения функции у = sin то; при заданных значениях х, составив соответствующую таблицу (табл. 20).

Таблица 20.

Таблица данных

Абсолютная погрешность измерения, определяемая как разность между истинным и измеренным значениями физической величины:

Относительная погрешность находится как отношение абсолютной погрешности к истинному значению или к результату измерения:

Интерполяционный полином Ньютона

Интерполяционный многочлен можно записать в форме, предложенной Ньютоном, если узлы интерполяции равноотстоящие по величине, т. е.

где h — шаг интерполяции, a x_t = х₀ + nh.

Интерполяционные полиномы Ньютона используются в случае, когда точка интерполирования находится в начале или конце таблицы, соответственно, первая и вторая интерполяционная формула Ньютона.

Первая интерполяционная формула Ньютона

Вид интерполирующего полинома в данном случае:

Решение многочлена сводится к определению коэффициентов а. При нахождении коэффициентов пользуются конечными разностями. Конечные разности первого порядка запишутся в виде:

где y_t — значения функции при соответствующих значениях х,-.

Конечные разности второго порядка:

Конечные разности высших порядков найдутся аналогично:

Коэффициенты а₀, а,…, а_п находятся из условия (103). Коэффициент а₀ находим при х = х₀. Выражение (110) примет вид

ll

Коэффициент а, находим при х = х_{ при подстановке в выражение (111) значения коэффициента а_а— у₀:

Используя формулы (111) и (112):

Для определения а₂, полагая х = х₂, на основе формул (111), (112) и (113) получим.

Общая формула для нахождения всех коэффициентов имеет вид А>о.

а, =—~~~т~? iH

В результате (111) примет вид Пример

По полученным данным (табл. 21) определить значение вязкости жидкости при температуре Т= 12 °C.

Таблица 21.

Зависимость вязкости воды от температуры

Решение

Для упрощения расчетов составим таблицу конечных разностей (табл. 22).

В связи с тем, что требуется найти значение в начале таблицы, воспользуемся формулой для первого интерполяционного полинома Ньютона (106):

Таблица 22.

Таблица конечных разностей

Подставив в формулу полученного полинома значение Г=12°С, найдем значение плотности р = 999,35 кг/м³.

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Для нахождения значений функции в конце интервала интерполирования интерполяционный полином запишется в виде.

Алгоритм определения коэффициентов а₀, аа_п аналогичен рассмотренному.

Из условия (103), подставляя в (115) х = х_п, найдем коэффициент а₀: Для х = х_п__]:

Для х = х_п_₂:

Формула для нахождения всех коэффициентов запишется как:

Подставив выражения для определения коэффициентов а, в формулу (11 5), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона:

Пример.

Дана таблица значений (см. табл. 21) р = /(Г).

• 1. Построить интерполяционный многочлен Ньютона.
• 2. Определить значение полинома для температуры Т= 90 °C. Решение

Для построения полинома воспользуемся формулой (115) и табл. 22:

Подставив в формулу полученного полинома значение Г=90°С, найдем значение плотности р = 965,29 кг/м³.