Геометрические места точек, используемые для решения задач на построение в планиметрии

Как уже отмечалось выше, один из методов решения задач на построение состоит в нахождении геометрических мест точек (ГМТ). Из истории возникновения термина можно сообщить следующее.

Аристотель, определив непрерывную величину, сделал затем вывод, что если дискретную величину можно рассматривать как множество точек, то непрерывную величину ни в коем случае нельзя рассматривать как множество неделимых элементов. Он, по-видимому, исходил из того, что если точки, как он считал, не имеют размеров, то две точки, непрерывно прилегающие друг к другу, сливаются в одну точку и, значит, тоже не имеют размеров; то же происходит и с тремя, и с любым количеством точек, причем это утверждение, верное для конечного числа точек, Аристотель распространял на бесконечные множества точек. Поэтому Аристотель представлял себе линии не как множество точек, как Пифагор и Демокрит, а только как «места», где могут находиться точки. Отсюда и происходит термин «геометрическое место точек», который мы и по сей день применяем к линиям или поверхностям, определенным теми или иными условиями.

Почти каждая задача на построение сводится, по существу, к нахождению по данным в задаче условиям одной или нескольких точек. Но имеющиеся в нашем распоряжении инструменты, в частности циркуль и линейка, приспособлены для вычерчивания линий. Поэтому при решении задач на построение искомая точка обычно определяется пересечением двух линий.

А так как искомая в задаче точка определяется пересечением двух линий, то требования, налагаемые задачей на искомую точку, как правило, можно расчленить на два отдельных условия, назовем их условиями ф и ф.

Все точки, удовлетворяющие условию ф, составляют множество точек М, а все точки, удовлетворяющие условию |/, составляют множество точек N.

Находя пересечение множеств М и N, т. е. отыскивая те точки, которые одновременно принадлежат и множеству М, и множеству N, мы тем самым получаем искомые точки, т. е. те, которые одновременно удовлетворяют условиям ср и |/. Проиллюстрируем сказанное двумя задачами.

Задача 5.1. Даны окружность О (г) и прямая I. Построить точку, расположенную вне окружности и находящуюся на расстоянии h от нее и от данной прямой.

Решение

Приведем полное решение этой задачи, содержащее все этапы: анализ, построение, доказательство, исследование.

Анализ. Пусть искомая точка М_х построена (рис. 5.1). Тогда точка М_х должна удовлетворять двум условиям:

• 1) она должна быть удалена на расстояние h от данной прямой I;
• 2) она должна быть удалена на расстоянии г + h от центра О данной окружности.

Рис. 5.1

Отсюда вытекает указанное далее построение.

Построение. 1. Строим ГМТ, удаленных от данной прямой I на расстояние h, — пару параллельных прямых 1_Х и 1₂ (это первое геометрическое место точек).

• 2. Строим окружность в точке О и радиусом, равным г + h (это второе геометрическое место точек).
• 3. Отмечаем точки М) и М₂ (это точки пересечения двух геометрических мест точек); М_хиМ₂ — искомые точки.

Доказательство. Точки М_а и М₂ как точки пресечения двух ГМТ удовлетворяют обоим условиям и, следовательно, являются искомыми.

Исследование. Пункты 1) и 2), указанные выше, всегда выполнимы, и притом однозначно. Существование решений зависит от взаимного расположения данной прямой I и окружности О (г).

Рассмотрим возможные случаи.

1. Данная прямая I не пересекает данную окружность О (г) (см. рис. 5.1). В этом случае если расстояние ОК от центра О до прямой I удовлетворяет условию ОК <2h + г, то задача имеет два и только два решения. Действительно, если допустить, что задача имеет более чем два решения, то получится, что прямая пересекает окружность более чем в двух точках, чего не может быть.

Если OK = 2h + r, то задача имеет одно решение.

Если ОК >2h + r, то задача не будет иметь решений.

2. Данная прямая I касается данной окружности О (г) (рис. 5.2). В этом случае задача при любом значении h имеет три решения.

Рис. 5.2.

3. Прямая I и окружность О (г) пересекаются (рис. 5.3). В этом случае задача будет иметь всегда четыре решения.

Рис. 5.3.

Задача 5.2. Пусть на плоскости заданы три точки А, В и С. Требуется найти точку, которая находилась бы на расстоянии h от точки А и на равных расстояниях от точек В и С (рис. 5.4).

Рис. 5.4.

Решение

Полное решение этой задачи мы приводить не станем, а укажем лишь те два ГМТ, пересечение которых и дадут нам искомую (искомые?) точки. Эти ГМТ в этой задаче таковы: а) искомая точка должна находиться на расстоянии h от точки А. Множество всех точек, удовлетворяющих этому условию, является окружностью радиуса h с центром в точке А;

б) искомая точка должна находиться на одинаковом расстоянии от точек В и С. Множество всех точек, удовлетворяющих этому условию, представляет собой все точки серединного перпендикуляра к отрезку ВС.

Итак, искомых точек (это точки пересечения двух указанных выше множеств) будет две — К и Р (см. рис. 5.4).

Заметим, что искомыми ГМТ в задачах на построение школьного курса геометрии могут являться одна или несколько точек, прямая, луч, отрезок прямой, окружность, дуга окружности и т. д.

Далее в табл. 5.1 приведены геометрические места точек, чаще всего встречающиеся в курсе планиметрии.

Таблица 5.7

Распространенные геометрические места точек.