Схемы независимых испытаний

Биномиальная схема

Определение 1.10. Испытания Бернулли — независимые испытания, в каждом из которых различают два исхода: А — успех (Р (А) = р)_УА — неуспех (Р (А) = q). При этом р + q = 1 и вероятности Р (А) и Р (А) не меняются от опыта к опыту.

Проводится п испытаний Бернулли. Тогда вероятность, что в п испытаниях происходит т успехов, равна.

где p^mqⁿ~^m — вероятность т успехов, а С™ — число различных фиксаций т мест для успехов среди п опытов.

Определим наивероятнейшее число успехов т* в биномиальной схеме (1.16). Проводится п испытаний Бернулли. В них может быть успехов т = 0, 1, …, т*_у …, п с вероятностями соответственно Р_и(0), Р_п( 1), …, Р_п(т*), …, Р_п(т)_у где тю* — наивероятнейшее число успехов — это то число успехов, которому соответствует наибольшая вероятность P_w(/w*).

Выпишем соотношения, из которых находится т*:

Решим эти неравенства относительно т*. Подставим выраже- п

ние С!" = —г,-гг в формулу (1.16). Получим:

т (п — т)

Отрезок, заключающий в себе значение т*, имеет длину единица, поэтому или оба его конца являются целыми, или оба нецелые:

• а) если оба конца целые, то т* принимает два значения в концах этого отрезка;
• б) если оба конца дробные, то т* принимает единственное значение, заключенное в отрезке.

Рассмотрим задачи на испытания Бернулли.

Задача 1.45. Изготовляется 20 деталей. Вероятность брака — 0,3. Найти вероятность наивероятнейшего числа брака Решение

Имеем п = 20, р = 0,3, q = 1 -р = 1 — 0,3 = 0,7.

По соотношениям (1.17).

Задача 1.46. Монету бросают п раз. Найти вероятности наивсроятнейшего числа выпадения «орла» при: а) п = 11 и б) п = 10.

Решение

По соотношениям (1.17) получаем:

а) 11 • 0,5 — 0,5 < т* < 11*0,5 + 0,5, или 5 < т* т* = 5, т* = 6; Л." - 5) — Cf, 0,5″; Р_И(т* — 6) = С?, 0,5^й =* Р_п(5) — Р"(6) (так как С^к" = С *);

б) 10 0,5 — 0,5 < т* < 10 0,5 + 0,5, или 4,5 < т* /л* = 5; Ро (^т* ⁼ 5) = Cf₀ • 0,5¹⁰.

Задача 1.47. Имеется 10 независимых рабочих элементов. Надежность каждого р. Найти вероятности следующих событий: а) ни один нс откажет; б) хотя бы один откажет; в) хотя бы 3 нсотказа.

Решение

а) Успех Л определяется как один из исходов испытания Бернулли.

Рассмотрим два разных выбора успеха Л. Испытание одного элемента — испытание Бернулли: _.

• 1) пусть Л — неотказ одного элемента, Р (Л) = р_} А — отказ одного элемента, Р (А) = 1 — р = q. Тогда Р (Х) = Р,₀(10) = С}Цр¹⁰д° = pⁱ⁰;
• 2) пусть Л — отказ одного элемента, Р (А) = ср А — неотказ одного элемента Р (А) = р. Тогда Р (Х) = Р,₀(0) = C°_[0q°p^l0 = р¹⁰;
• б) пусть Л — отказ одного элемента, Р (Л) = - р = q_} А — неотказ одного элемента, Р (Л) = р. Тогда Р (Х) = Р₁₀(1) + Р_ш(2) + … + Р₁₀(Ю).

Переходим к дополнительному событию X — ни один нс откажет:

в) пусть Л — неотказ одного элемента, Р (Л) = р, А — отказ одного элемента Р (Л) = q. Тогда.

Замечание 1.10. Рекомендуется за успех испытания Бернулли брать тот исход, который фигурирует в вопросе задачи.

Замечание 1.11. Переход к дополнительному событию совершается, когда это упрощает вычисления. Используется соотношение Р"(0) + Р_/;(1) + … + Р_п(п) = 1, так как это сумма полной группы.

k _

несовместных событий. Поэтому если Р (Х) = ?Р"(/'), то Р (Х) —

г=

=. I Р"(г).

i=k+

Обобщения биномиальной схемы.

Обобщить биномиальную схему можно в двух направлениях:

• а) по изменению вероятностей (успеха и неуспеха) различных исходов от опыта к опыту, тогда получается пуассоновская схема;
• б) по числу исходов каждого опыта, тогда получается полиномиальная схема.

Если обобщение ведется в обоих направлениях одновременно, тогда получается обобщенная схема.

Пример. Пусть студенты сдают зачеты и экзамены независимо друг от друга. Тогда эти испытания представляют следующие схемы:

• 1) все студенты равносильны и сдают зачет — биноминальная схема;
• 2) все студенты разной подготовки и сдают зачет — пуассоновская схема;
• 3) все студенты равносильны и сдают экзамен — полиномиальная схема;
• 4) все студенты разной подготовки и сдают экзамен — обобщенная схема.