Сравнение кинетических и гидродинамических моделей классической плазмы

В соответствии с развитой в предыдущих подразделах концепцией иерархии математических моделей каждая последующая редуцированная модель изучаемой системы дает ее все более и более сокращенное описание, при котором постепенно утрачивается информация о тонких деталях поведения системы. В данном подразделе мы проиллюстрируем это положение на примере сравнения результатов, даваемых кинетической и гидродинамической моделями плазмы. Гидродинамическая модель возникает при редуцировании кинетической модели и, следовательно, должна приводить к более неполному описанию свойств плазмы, чем кинетическая модель.

Среди огромного многообразия свойств плазмоподобной среды мы остановимся только на одном конкретном вопросе распространения в плазме продольных квазиэлектростатических колебаний, связанных с колебаниями плотности электронов. Однако уже на этом примере можно отчетливо проследить различие в степени детализации описания системы в рамках двух обсуждаемых моделей.

Механизм возникновения этих колебаний, которые носят название плазменных или ленгмюровских, тесно связан, как это обсуждалось в подразд. 2.2 в связи с установлением иерархии характерных временных масштабов в физических системах, с динамическим экранированием взаимодействия электрических зарядов в плазме. Рассмотрим простейшую модель однокомпонентной (электронной) плазмы с однородным компенсирующим положительным фоном и установим закономерности таких колебаний в рамках гидродинамической модели. Исходными при рассмотрении малых колебаний в этом случае являются линеаризованные уравнение движения электронов и уравнение непрерывности:

где й — гидродинамическая скорость плазмы, N — концентрация электронов, а п₀ — ее равновесное значение. Уравнения (I) и (2) должны решаться совместно с уравнениями Максвелла, которые в случае продольных ленгмюровских колебаний сводятся к уравнениям электростатики:

Легко установить общую зависимость от времени всех входящих в эти уравнения величин, не делая никаких предположений об их зависимости от пространственных координат. Продифференцируем уравнение непрерывности (2) по времени и воспользуемся уравнением движения (1), взяв дивергенцию от обеих частей этого уравнения. Сравнивая полученные соотношения, придем к равенству.

Используя второе из уравнений (3), получим с помощью (4) следующее уравнение для переменной части плотности электронов п = N — п$:

Уравнение (5) — это уравнение гармонических колебаний для величины л, происходящих с частотой.

Уравнению такого же вида удовлетворяет и гидродинамическая скорость электронов:

Общее решение любого из этих уравнений, например уравнения (5), записывается в виде.

где функции координат С,(г) и С₂(г) определяются начальными распределениями плотности электронов я (г, 0) и их скорости u (r_t 0):

Подчеркнем, что вид функций^ Q® и С₂(г) не сказывается на зависимости величин л, й и Ё от времени: все они осциллируют с одной и той же частотой со_л, зависящей от равновесной плотности электронной плазмы.

Структура решения (8) уравнения (5) для плотности электронов показывает, что это возмущение не распространяется в плазме при ее колебаниях. Такая его локализация в начальной области характерна, однако, только для холодной плазмы, рассматриваемой в рамках гидродинамической модели. Кинетическая модель, как мы увидим ниже, приводит к другому результату.

Нетрудно видеть, что плазменные электростатические колебания с частотой о)" действительно являются продольными. В самом деле, в электростатике Ё = -Уф, где ф — скалярный электрический потенциал, удовлетворяющий уравнению Пуассона:

Поэтому для плоских монохроматических волн имеем.

и для напряженности поля Ё получим.

Соотношение (12) означает, что напряженность поля Ё направлена вдоль волнового вектора.

В более сложной модели двухкомпонентной плазмы (но в гидродинамическом приближении!) ионы в силу значительно большей своей массы М не «поспевают» за электронами. Поэтому учет движения ионов дает только малую поправку к частоте ленгмюровских колебаний:

В гидродинамической модели полностью пренебрегается тепловым движением электронов. Очевидно, это возможно, когда фазовая скорость волны значительно превосходит характерную скорость теплового движения частиц среды:

где (v) = у/д/т.

Подставляя сюда значение ленгмюровской частоты (о_п, приходим к неравенству.

где r_D — радиус экранирования электронов:

В заключение рассмотрения гидродинамической модели отметим важное обстоятельство: плазменные колебания в такой модели оказываются незатухающими во времени. Отсутствие затухания колебаний и их строгая локализация в начальной области — два самых существенных момента в сокращении описания системы, даваемом гидродинамической моделью плазмы по сравнению с кинетической моделью.

Перейдем теперь к описанию малых продольных колебаний классической плазмы в кинетической модели. Прежде всего отметим, что возможны различные кинетические модели в зависимости от вида интеграла столкновений в правой части кинетического уравнения для одночастичной функции распределения. В приближении самосогласованного поля, при котором в кинетическом уравнении интеграл столкновений отсутствует, имеем.

Тогда для малых электростатических колебаний линеаризованное кинетическое уравнение Власова может быть записано в виде.

где /(г, ?>, t) = f (г, ?, t)-f₀(v) — отклонение одночастичной функции распределения от ее равновесного значения f₀, а скалярный электрический потенциал <�р удовлетворяет уравнению Пуассона, которое в рассматриваемой кинетической модели записывается следующим образом:

Итак, задача сводится к решению системы линейных по возмущению уравнений (18) и (19). Эти уравнения не содержат в явном виде пространственных координат и времени. Поэтому их можно переписать для отдельных компонент Фурье функции распределения и потенциала:

Уравнения для величины = /,(?, к, со) и <�р_А— = <�р (?, со) получаются с Помощью (18) и (19) и имеют вид.

Выразим из уравнения (21):

Подставляя (23) в уравнение (22) для <�р*-, приходим к соотношению.

где 0 — угол между векторами к и v. Параметры к и ш в соотношениях (20) были независимы, соответствуя независимым переменным г и /. Теперь мы видим, что они оказались связанными уравнением (24). Это уравнение называется дисперсионным уравнением, поскольку оно определяет закон дисперсии волны, т. е. зависимости частоты колебаний о от волнового вектора к:

Возникает вопрос, как вычислять интеграл в соотношении (24), поскольку у подынтегрального выражения имеется полюс в точке ш = (к • v). В своей пионерской работе, посвященной кинетической теории колебаний и волн в плазме, А. А. Власов вычислял этот интеграл в смысле главного значения. При этом все соотношение (24) является вещественным, вещественной получается и частота плазменных колебаний а)(/:), для квадрата которой при использовании равновесной максвелловской функции распределения Уо получается выражение, совпадающее с (6), плюс добавка, пропорциональная квадрату волнового вектора. Колебания оказываются незатухающими, как и в гидродинамической модели, что естественно, поскольку в уравнении Власова не учитывается релаксация системы, определяемая столкновениями частиц плазмы между собой. Отметим, что колебания теперь не локализованы в начальной области, а распространяются в плазме благодаря зависимости со от к.

Вычисление интеграла в соотношении (24) в смысле главного значения соответствует, вследствие соотношения (20), ситуации, когда колебания существуют все время, даже в бесконечно удаленном прошлом. Чтобы избавиться от этого недостатка, Л. Д. Ландау предложил вычислять интеграл в (24) с учетом определенного правила обхода полюса на комплексной плоскости аз. Если предположить, что в бесконечно удаленном прошлом колебания отсутствовали, что означает справедливость предела.

Здесь символ Рсоответствует интегралу, понимаемому в смысле главного значения, а 6(х) — 6-функция Дирака. Действительно, при замене со—>а> + /е, е —>+0 условие (26) оказывается выполненным. Однако теперь (в бесстолкновительном приближении!) колебания оказываются затухающими; в литературе это затухание получило название затухания Ландау.

то правило обхода полюса имеет вид.

Исследование физического смысла затухания Ландау показало, что это затухание связано с особым взаимодействием между волной и частицами плазмоподобной среды, аналогичным излучению Вавилова —Черенкова. Чтобы убедиться в этом, достаточно исследовать условия обращения в нуль знаменателя в правой части соотношения (27). Однако странность самого факта существования необратимого во времени решения у уравнения, описывающего обратимые процессы, делает актуальным дальнейшее более детальное рассмотрение этого вопроса.

Обратим внимание на то, что уравнение (21) является неоднородным. Поэтому к любому решению этого уравнения можно прибавить решение однородного уравнения.

и получившаяся сумма снова будет решением уравнения (21). Решение однородного уравнения (28) можно записать в виде.

где Х (к, со) — произвольная достаточно гладкая функция переменных к и со. Подставим теперь в уравнение (22) сумму решений (23) и (29):

где символ Р означает, что возникающий при этом интеграл понимается в смысле главного значения. В результате приходим к следующему равенству:

Уравнение (31) содержит три величины (со, к и X) и поэтому не дает возможности определить закон дисперсии волны со(к). Это означает, что для любого значения к можно получить решение уравнения Власова в виде (30), осциллирующее с любой желаемой частотой со = kv без затухания. Это так называемая волна Ван-Кампена, который показал, что система собственных функций (30) уравнения Власова является полной и, следовательно, любое решение этого уравнения, в том числе и затухающее во времени решение Ландау, может быть представлено как суперпозиция незатухающих волн Ван-Кампена.

Теперь становится очевидным, что затухание Ландау в действительности представляет собой не истинное необратимое во времени затухание волны, которое обусловлено межчастичными столкновениями, а расфазировку различных незатухающих колебаний, существующих в виде ван-кампеновских волн. Если осуществить условия «сфазирования» этих колебаний за время, меньшее времени истинного затухания, определяемого столкновениями частиц плазмы, то должно наблюдаться явление эха в плазме, что действительно подтверждается экспериментом.

Сравнивая результаты, полученные в гидродинамической и кинетической моделях плазменных колебаний, можно отчетливо видеть как характер сокращения описания в гидродинамической модели по сравнению с кинетической, так и исключительное разнообразие физических свойств плазмы, которые могут быть обнаружены у кинетической модели при исследовании различных решений уравнения для одночастичной функции распределения. Отметим, что исследование уравнений (21) и (22) с помощью преобразования Лапласа по временной переменной позволяет вскрыть весьма тонкие эффекты влияния начального распределения возмущений в плазме на ее колебательные свойства.

Причины того, что кинетическая модель способна описать гораздо более тонкие свойства плазмы, чем гидродинамическая, заключается, с математической точки зрения, в том, что в этой модели фигурирует одна лишняя независимая переменная — скорость (или импульс) частиц, в то время как в гидродинамической модели фигурирует только координата. В результате при расчетах в кинетической модели учитывается различие в движении отдельных частиц плазмы, в то время как в гидродинамической модели все частицы движутся единым образом. Именно это различие и определяет многие свойства системы, которые пропадают в отсутствие распределения по скоростям движения.

Таким образом, сравнение гидродинамической и простейшей кинетической моделей классической плазмы позволяет увидеть различие в степени полноты описания свойств системы двумя моделями, расположенными на соседних ступенях иерархической лестницы, и математическую и физическую причины этого различия.

• 1. Получите уравнение (7) для колебаний скорости электронов в гидродинамической модели плазмы.
• 2. Получите формулы (9) для функций С,(г) и С₂(г), входящих в общее решение (8) уравнения (5).
• 3. Получите выражение (13) для квадрата частоты плазменных колебаний в двухкомпонентной гидродинамической модели плазмы.
• 4. Получите дисперсионное уравнение (24) для колебаний в кинетической модели плазмы, исходя из уравнений (21) и (22).
• 5. Поясните, почему физический механизм бесстолкновительного затухания Ландау эквивалентен явлениям, определяющим условия существования излучения Вавилова —Черенкова.
• 6. Поясните, что такое волна Ван-Кампена и в чем заключается явление плазменного эхо.
• 7. Опишите характер сокращения описания плазменных колебаний в гидродинамической модели плазмы по сравнению с кинетической моделью.
• 8. Покажите, что наличие интеграла столкновений в правой части кинетического уравнения (17) приводит к тому, что плазменные колебания становятся затухающими во времени.
• 9. Покажите, что при использовании соотношения (27) при вычислении интеграла в (24) плазменные колебания оказываются затухающими, если в качестве f₀ выбирается равновесная максвелловская функция распределения.
• 10. Поясните физические и математические причины различия в степени полноты описания свойств системы, даваемого гидродинамической и кинетической моделями классической плазмы.

Литература

: [15], [18].