Движение заряженной частицы в плоской немонохроматической электромагнитной волне

Выберем векторный потенциал (2.4) в виде:

(2.36).

где и — огибающие векторного потенциала, — фаза волны, — частота волны, — постоянная. Координаты частицы в поле такой волны следуют из формул (2.22) [5, с. 11]:

(2.37).

где функция определяется выражениями.

(2.38).

Ради полноты изложения, исходя из (2.15) и (2.17)-(2.19), стоит также тогда записать импульс, энергию и скорость частицы:

, ,.

(2.39).

,.

(2.40).

Между тем, получается, что формулы (2.37), определяющие координаты заряженной частицы в поле плоской квазимонохроматической электромагнитной волны, зависят от интегралов.

, ,, ()(2.41).

которые можно переписать в более общем виде [5, с. 16]:

(2.42).

где — натуральное число (об будет упомянуто позднее), а под могут пониматься, ,. Предложенное в [5] семейство интегралов (2.42) шире, чем (2.41), но удобнее для вычислений. Предварительно сконструируем также величину — интегралы такого вида получили наименование осцилляторных [31, с. 45].

В литературе можно найти два хорошо известных интегрируемых случая: строго монохроматическая электромагнитная волна [9−13] и монохроматический волновой пакет с резкими фронтами [14−15] (см. п. 2.3.3.3). Понятно, что интегрируемость выражений (2.42) не может ограничиваться только этими двумя случаями, поэтому нам представляется справедливым восполнить пробел в литературе собственным более или менее кратким исследованием.

Так как принципиально невозможно единым способом искать первообразные для любых произвольных, даже весьма простых, функций [32, с. 358]-[33, с. 394], то оправданным оказывается полуэмпирический метод, а именно перебор конкретных вариантов, дополняемый определенными соображениями, сужающими область поиска.

Под в дальнейшем будем полагать вещественнозначную функцию действительного переменного, почти всюду дифференцируемую и почти всюду непрерывную вместе со своими производными, такую что и интегрируемы по Риману на. Кроме того, естественно потребовать условие ограниченности колебания функции на участке ее интегрирования, а из физических соображений оправдано и наложение условия ограниченности вариации функции на .