Дискретная случайная величина

Состояние реальной дискретной системы, кроме номера i, который, вообще говоря, не имеет физического смысла, характеризуется одной или несколькими величинами, имеющими определенный физический смысл. Например, каждая система состоит из некоторого числа частиц и обладает некоторой энергией. Обозначим одну из таких величин буквой X, а ее значение, соответствующее t-му состоянию — X (i). Причем различным состояниям системы и, следовательно, различным номерам i может соответствовать одно и то же значение X. Множество значений Л'(1), Х (2), Х (3), …, которые может принимать величина X, явля ется дискретным. Поэтому эта величина называется дискретной случайной величиной. Совокупность всех значений величины X называется спектром ее значений. В данном случае спектр значений X является дискретным.

Пусть среди N систем статистического ансамбля в момент времени t имеется число N (t, X) систем, для которых величина Л' принимает заданное значение X. Предел отношения этого числа к числу N систем в ансамбле при неограниченном возрастании последнего называется вероятностью W (t, X) того, что в момент времени t одна какая-то выбранная наугад система находится в состоянии, которому соответствует значение X:

Зависимость W — И'(t, X) называется функцией распределения дискретной случайной величины X.

Просуммируем обе части равенства (2.6) по всем возможным значениям величины X. Так как.

придем к условию нормировки вероятности.

Величина X яьляется однозначной функцией номера состояния i: X = X (t), т. е. каждому состоянию системы соответствует одно определенное значение А'(г) физической величины X. Обратная функция i = i (X), вообще говоря, не является однозначной, т. е. одно и то же значение X может соответствовать различным состояниям системы. Поэтому число N (t, X) систем ансамбля, для которых величина X принимает заданное значение X, будет связано с числом систем в «-м состоянии соотношением.

где суммирование производится только по номерам состояний i = г (А), соответствующим заданному значению X. Разделив соотношение (2.9) на /V, в пределе при N —? оо в соответствии с формулами (2.2) и (2.6) получим:

Эго равенство составляет содержание теоремы о сложении вероятностей.

Пусть для каждой из систем ансамбля в момент времени t производится измерение значений величины X. Среднее значение X этой величины по результатам произведенных измерений определяют как отношение суммы всех полученных значений X к числу измерений N

где к — номер измерения, т. е. номер системы в ансамбле. Так как среди N измеренных значений величины X какое-либо значение X встречается.

N (t, X) раз, будем иметь формулу.

Теоретически измерения можно производить сколь угодно большое число раз. Тогда в пределе при N —? оо с учетом определения (2.6) придем к формуле Формулу (2.11) используют для расчета среднего значения по результатам действительных измерений, число которых всегда конечно. Задача статистической физики заключается в отыскании функции распределения W = W{t)X) случайной величины X и вычислении ее среднего значения X по формуле (2.12). Совпадение экспериментального и теоретического средних значений является критерием правильности теории исследуемого явления.

Среднее значение величины /, которая является функцией аргумента X: / = f (X), определяется формулой.

В частности, среднее значение квадрата величины X можно вычислить по формуле